2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）
一.填空（每题4分，共32分） 1.limx?0x?sin?sinx??sinx?3?
2.设函数f,?可导，y?f?arctanx???tanx??，则y??
n3. y?cos2x，则y???
1?xdx? 2xxe??15. ?dx?
21?x44.?2x?2y?z?2?0?6.圆?2的面积为 22?x?y?z?4x?2y?2z?19?x?7.设f?2x?y,?,f可微，f1??3,2??2,f2??3,2??3，则dzy??1???1??n?1?!8.级数?的和为 n2n!n?1?n?x,y???2,1??
二．（10分）设f?x?在?0,c?上二阶可导，证明：存在???0,c?， 使得?c0cc3f?x?dx??f?0??f?c???f?????
212三．（10分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1
D六．（12分）应用高斯公式计算???ax2?by2?cz2?dS，（a,b,c为常数）
?其中?:x2?y2?y2?2z.
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七.（12分）已知数列?an?，a1?1,a2?2,a3?5,?1记xn?，判别级数?xn的敛散性.
ann?1,an?1?3an?an?1?n?2,3,?,
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)?
x?0sinxln(x?1?x2)/y? 2.y?，21?x3.y?cos2x，y(n)(x)? 4.?5.?1?xxedx? 2x??21dx? 1?x42x?2y?z?2?0??6.圆?2的面积为 22??x?y?z?4x?2y?2z?19x7.z?f(2x?y,)，f可微，f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3，则dzy(x,y)?(2,1)?
1?(?1)nn!8.级数?的和为 . n2n!n?1?二.（10分）
设f(x)在?a,b?上连续，且b?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点???a,b?，使
aabb得?f(x)dx?0.
a?三．（10分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD2 / 30
的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1,x?0,y?0
D六、
?x20?x?1（12分）求??x?2y?e?dx?x?1?y?dy，其中?为曲线?22??x?y?2x1?x?2x从O?0,0?到A?1,?1?.
七.（12分）已知数列?an?单调增加，a1?1,a2?2,a3?5,,an?1?3an?an?1
?n?2,3,?1?,记xn?a，判别级数?xn的敛散性.
n?1n2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)?
x?0sinx2.y?arctanx2?extanx，y/? 3.设由xy?yx确定y?y?x?，则
dy? dx4.y?cos2x，y(n)(x)? 5.?1?xxedx? 2x(x,y)?(2,1)?
x6.z?f(2x?y,)，f可微，f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3，则dzy7设f?u,v?可微，由F?x?z2,y?z2??0确定z?z?x,y?，则8.设D:x2?y2?2x,y?0，则??x2?y2dxdy?
D?z?z?? ?x?y二.（10分）设a为正常数，使得x2?eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设f?x?在?0,1?上连续，且?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点
0011???0,1?，使得?f(x)dx?0.
0?3 / 30
四.（12分）求广义积分???21dx 41?x五．（12分）过原点?0,0?作曲线y??lnx的切线，求该切线、曲线y??lnx与
x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求
AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1,x?0,y?0
D2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)?
x?0sinx2.y?arctanx2?extanx，y/? 3.设由xy?yx确定y?y?x?，则
dy? dx4.y?cos2x，y(n)(x)? 5.?6.?11?xxedx? 2xxarctanx2dx?
1?x402x?2y?z?2?0??7.圆?2的面积为 22??x?y?z?4x?2y?2z?19x8.z?f(2x?y,)，f可微，f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3，则dzy(x,y)?(2,1)?
二.（10分）设a为正常数，使得x2?eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设f?x?在?0,1?上连续，且?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点
0011???0,1?，使得?f(x)dx?0.
0?四.
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（12分）过原点?0,0?作曲线y??lnx的切线，求该切线、曲线y??lnx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
五．（12分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积. 六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求
AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1,x?0,y?0
D2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（专科）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)?
x?0sinx2.y?arctanx2?extanx，y/? 3.设由xy?yx确定y?y?x?，则
dy? dx4.y?cos2x，y(n)(x)? 5.?6.?11?xxedx? 2xxarctanx2dx? 41?x02x?2y?z?2?0??7.圆?2的面积为 22??x?y?z?4x?2y?2z?191?(?1)nn!8. 级数?的和为 n2n!n?1?二.（10分）设a为正常数，使得x2?eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设f?x?在?0,1?上连续，且?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点
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