两条直线平行与垂直的判定
学习目标:
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.
3.能应用两条直线平行或垂直的判定与性质解释生活实践中的现象和问题,并能进行实际应用.
基础知识
1.设两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,若l1∥l2,则k1 _=__ k2;反之,若k1=k2,则l1 _∥_ l2.特别地,若两条不重合的直线的斜率不存在,则这两条直线也平行. 2.如果两条直线_都有斜率__,且它们互相垂直,那么它们的斜率_之积等于-1_;反之,如果它们的斜率之积等于-1_,那么它们互相垂直.即_k1·k2=-1_?l1⊥l2, l1⊥l2? __ k1·k2=-1_. 1.两条直线平行的判定
(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2; 当倾斜角都等90°时,斜率都不存在. (2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合. 2.两直线垂直的判定
(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1?l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.
(2)若l1⊥l2,则有k1?k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直
判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.
典 例 剖 析
题型一 直线平行问题 例1:下列说法中正确的有( ) ①若两条直线斜率相等,则两直线平行. ②若l1∥l2,则k1=k2.
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交. ④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
解析:当k1=k2时,两直线平行或重合,所以①不成立. 在②中,斜率可能不存在,所以不成立. 在④中,而直线也可能重合,所以不成立. 因此,只有③正确.
规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( ) A.-8
B.0 C.2
D.10
题型二 直线垂直问题
例2:已知直线l1的斜率k1= 3 ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数
4a的值.
分析:已知l1的斜率存在,又l1⊥l2,所以l2的斜率也应存在.设为k2,则由k1?k2=-1,可得关于a的方程,解方程即可.
a2?1?(?2)a2?3解:设直线l2的斜率为k2,则k2???.0?3a3a33a2?3?l1?l2,且k1?,?k1?k2??1,???1,443a即a2-4a+3=0, 解得a=1或a=3.
变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB⊥CD. 题型三 平行与垂直的综合应用
例3:已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.
分析:由四边形ABCD为长方形可知,AD⊥CD,AD∥BC,再利用两条直线垂直与平行的判定得kAD·kCD=-1,kAD=kBC,列方程组求解. 解:设第四个顶点D的坐标为(x,y),由题意可知, AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD?kCD= -1,且kAD=kBC, ∴
?y?1y?2???1,??x?0x?3??y?1?2?0,??x?03?1解得 x=2, y=3.
∴第四个顶点的坐标为(2,3).
规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法.
变式训练3:已知四边形ABCD的顶点为A(2,2?22),
B(?2,2),C(0,2?22),D(4,2),求证四边形ABCD为矩形. 22解:kAB?,kBC??2,kCD?,kAD??2. 22 ?kAB?kCD,kBC?kAD,?AB//CD,BC//AD. ?四边形ABCD为平行四边形.
又kAB?kBC?2?(?2)??1,?AB?BC.2
?四边形ABCD为矩形.易错探究
例4:已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
错解:?l1?l2,?k1?k2??1.又k1??3?aa?5???1,a?5?33?aa?5,k2?,a?5?3错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l1⊥l2k1?k2=-1,本题中直线l2的斜率存在,而l1的斜率不一定存在,因此要分l1的斜率存在与不存在两种情况解答.
正解:由题意知直线l2的斜率k2= 5 ?3 a 存在,
当l1的斜率k1= 3 ?a? a5 不存在时,a=5,此时k2=0,
∴l1⊥l2.
当l1的斜率存在时,由l1⊥l2?k1?k2=-1,
∴ 3a ? ? a5 ? 5 ?3 a = -1,解得a=0,
综上知,a的值为5或0.
基础强化训练
1.下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1. 其中正确的为( )
A.①②③④ B.①③ C.②④
D.以上全错
2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB与直线y=0垂直,则m的值为( A.2 B.1 C.0 D.-1
3.若直线l经过点(a?2,?1)和??a?2,1?,且与经过点
??2,1?,斜率为?23的直线垂直,则实数a的值是?A?
A.?23B.?32C.233D.24.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )
) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A为直角顶点的直角三角形 D.以B为直角顶点的直角三角形
1?(?1)13?1解析:kAB= ? ? , kBC= =2,
1?522?1∴kAB·kBC=-1.
∴AB⊥BC.故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形
5.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( ) A.45°
B.135° C.-45°
D.120°
6.满足下列条件的l1与l2,其中l1⊥l2的是( )
1 ); (1)l1的斜率为- 2 , l2经过点A(1,1),B(0,- 32(2)l1的倾斜角为45°,l2经过点P(-2,-1),Q(3,-5);
(3)l1经过点M(1,0),N(4,-5),l2经过点R(-6,0),S(-1,3). A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3) 1??13 解析:1k??2,k?2?,?k???k?2??1,??1??2.?????230?12
?5?(?1)4 (2)k?1?tan45??1,k?2???.而k?1?k?2??1.3?(?2)5
7.经过点P(-2?-1)?Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=_-6 _______. a?(?1)解析:由题意知, = -1,∴a= - 6.
3?(?2)8.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.
23m?2 解:直线PQ的斜率为kPQ?.直线AB的斜率为kAB?.7?2?2m
3m?222 1?AB?PQ.?k?k??,解得m?.??PQAB?2?2m7523m?2 ??1,?2?若AB?PQ,则kAB?kPQ??1即?7?2?2m9解得m??.4
两条直线平行与垂直的判定
