(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内
含.两圆同心是两圆内的一个特例.
2. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r
(3)两圆相交 <===> R-r
如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 4. 相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
七. 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式:
圆周长C=2?R (R表示圆的半径) 2. 弧长公式:
弧长l?n?R (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 1803. 扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式.
圆的面积S??R (R表示圆的半径) 6. 扇形的面积公式: 扇形的面积S扇形2n?R2? (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 360弓形的面积公式:(如图5) A O BOAOBB(1), S弓形?S扇形?S三角形 A当弓形所含的弧是劣弧时(2)当弓形所含的弧是优弧时, 图S5 弓形?S扇形?S三角形 (3)当弓形所含的弧是半圆时, S弓形?CCC12?R?S扇形 2八. 圆锥的有关概念:
1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条
直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. 2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:
11S侧?cl??2?rl??rl
22S表?S侧?S底面??rl??r2??r(r?l)
_ A九. 与圆有关的辅助线 _ O1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线. 2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
_ B3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
_ 6 图 4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. 十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
十一.北师版数学未出理的有关圆的性质定理
1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分_ A两条切线的夹角。
如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B
_ O∴PA=PB，PO平分∠APB
_ B2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
D __ C如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B
_ 7 图 3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；
②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 如图8，AP?PB=CP?PD
2
如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP=AP?PB 4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
2
如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT=PA?PB
②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD?PC=PB?PA
5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。 ②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。 6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图12，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2C⊥O1A于C，公切
线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：
L?d2?(R?r)2
如图13，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，O2C∥AB，O2C⊥O1C于C，⊙O1半径为R，⊙O2
半径为r，则内公切线长：L? C_ _ P _ O_ A
图8 A_ _2 _ O_1O C__ B_ _ 11图
d2?(R?r)2
_ C_ D_ B_ D_ P_ BT __ 10 图
_ O_ A_ D_ A_ PO_ C _
_ B
_ 9 图
_ R_ O_ 1_ O_ 1_ C_ R_ A_ d_ O_ 2_ r_ 12图
_ B
_ A_ d_ O_ 2_ B_ C图_ 13
_ r
第四章 统计与概率
1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次
数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点. 三. 游戏公平吗?
1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.
2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1之间.
3. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:
P?事件A包含的基本事件的个数
基本事件的总数4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点: (1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果; (2)要弄清楚所有机会均等的结果.
初中数学北师大版（全套）复习资料
