二次函数的概念：形如y?ax?bx?c(a、、b、是常数，a?0)的函数，叫做x的二次函．．．数。自变量的取值范围是全体实数。 y?ax(a?0)是二次函数的特例，此时常．
数b=c=0.
在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。 ．．．．．．．．二次函数y＝ax的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。 ①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性： A、当a＞0时?2
22;?x?0时,y随x增大而减小 B、当a＜0时
x?0时,y随x增大而增大.?;?x?0时,y随x增大而增大 ?.?x?0时,y随x增大而减小
⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0． 二次函数y?ax?c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
24ac?b2bb二次函数y?ax?bx?c的图象是以x??为对称轴，顶点在（?，）的
4a2a2a2抛物线。（开口方向和大小由a来决定）
|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。
二次函数y?ax?c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 二次函数y?ax?bx?c的图象与y＝ax的图象的关系：
2
22 y?ax?bx?c的图象可以由y＝ax的图象平移得到，其步骤如下：
2
24ac?b2b ①将y?ax?bx?c配方成y?a(x?h)?k的形式；（其中h=?，k=）；
4a2a22
②把抛物线y?ax向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)的图象； ③再把抛物线y?a(x?h)向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到
222
y?a(x?h)2?k的图象。
二次函数y?ax?bx?c的性质：
2b24ac?b2二次函数y?ax?bx?c配方成y?a(x?)?则抛物线的
2a4a2①对称轴：x=?2b ②顶点坐标：（?b，4ac?b） 2a4a2a③增减性： 若a>0，则当x
若a<0，则当x
bb时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增?．．．．．．2a2abb时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增?．．．．．．2a2a4ac?b2bb④最值：若a>0，则当x=?时，y最小?；若a<0，则当x=?时，
4a2a2ay最大4ac?b2 ?4a2画二次函数y?ax?bx?c的图象：
我们可以利用它与函数y?ax的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
2b ①先找出顶点（?b，4ac?b），画出对称轴x=?；
22a4a2a②找出图象上关于直线x=?b对称的四个点（如与坐标的交点等）； 2a③把上述五点连成光滑的曲线。
2
二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)+k的形式求得，也可以借助图象观察。
解决最大（小）值问题的基本思路是： ①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系； ④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
二次函数y?ax?bx?c的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根
抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： b?4ac>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点； b?4ac=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；
b?4ac<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；
当b?4ac>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：
222222|AB|?|x1?x2|?(x2?x1)2?(x1?x2)2?4x1x2
b2?4ac2化简后即为：|AB|?(b?4ac?0) ------ 这就是抛物线与x轴的两交点之
|a|间的距离公式。
第三章 圆
一. 车轮为什么做成圆形 1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A
随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半．．．．径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O” ．
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长．．
叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆．．．．
叫做定圆。 ．．
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定
长）。
2. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性: 1. 与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 ．
直径：经过圆心的弦叫做直径。 ．．
②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端．．．
点的弧记为“
”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 ．．优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 ．．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ．．
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 ．．④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ．．．
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ．．⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. ．．．
2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组
量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相
应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错误的.
3. 圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 4. 圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 四. 确定圆的条件:
1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的
外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系
1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.
1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.
(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.
(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的
外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.
(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.
(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内
部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.
初中数学北师大版（全套）复习资料
