角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ．．
矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图
形，有两条对称轴）
矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）
正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
平行四边形 一组邻边相等 菱形 一个内角为直角 （或对角线相等） 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分） 一内角为直角 矩形 一邻边相等 或对角线垂直 鹏翔教图3
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 夹在两条平行线间的平行线段相等。
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
第四章 视图与投影
三视图包括：主视图、俯视图和左视图。
三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。
主视图：基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象 左视图：基本可认为从物体左面视得的图象
视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。
在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。 ．．太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 ．．．．
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中．心投影。 ．．．
区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。 眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。 ．．．．．．从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。 ①点在一个平面上的投影仍是一个点； ②线段在一个面上的投影可分为三种情况： 线段垂直于投影面时，投影为一点；
线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度； 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。 ③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：
平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状； 平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；
平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
第五章 反比例函数
反比例函数的概念：一般地，y?
k
（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比x
例函数。
（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零） 反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ y?k(k?0) ←→ y?kx?1(k?0) x←→ xy?k(k?0) ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k.
判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即xy?k>。（通常第二种方法更适用）
反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；
②选取的点越多画的图越准确；
③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
反比例函数性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有S矩形OAPB?|xy|?|k|S?AOB?11|xy|?|k| 22B O P A 图4 P B A O 第六章 频率与概率
在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数； ．．
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：．．
频率?频数频数?
数据总数实验次数在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。
频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；
要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照
10010估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”） ?x200生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。
九年级下册 第一章 直角三角形边的关系
一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即．．
tanA??A的对边;
?A的邻边
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 二. 正弦： ．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA??A的对边;
斜边三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
cosA??A的邻边;
斜边余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即
cotA??A的邻边;
?A的对边一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则 ①sinA?cos(90???A)；
sinα cosα tanα cotα 0o 0 1 0 — 30 o 1 245 o 60 o 90 o 1 0 — 0 cosA?sin(90???A)
②tanA?cot(90???A)；
3 23 32 22 21 1 3 21 2cotA?tan(90???A)
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角 ．．
3 3 33 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．
利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。
图1
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
222
(1)三边之间的关系：a+b=c；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：
asinA?,cbsinB?,cbcosA?,cacosB?,catanA?,bbtanB?,abcotA?;
aacotB?;
b11ab?chc(hc为C边上的高); 22a?b?c(5)直角三角形的内切圆半径r?
21 (6)直角三角形的外接圆半径R?c
2(4)面积公式:S??解直角三角形的几种基本类型列表如下： 解直角三角形的几种基本类型列表如下：
B i=h:l h C A l 图2
图3
图4
如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即i?．．．．
h?tanA l从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方．．．位角分别为45°、135°、225°。
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、．．．OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章 二次函数
初中数学北师大版（全套）复习资料
