导数复习
一．选择题
(1) 函数f(x)?x3?3x2?1是减函数的区间为
( )
A．(2,??) B．(??,2) C．(??,0) D．（0，2） （2）曲线y?x3?3x2?1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y?3x?4 B。y??3x?2 C。y??4x?3 D。y?4x?5a
(3) 函数y＝ax2
＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ ( )
A． 18 B．114 C．2 D．1
(4) 函数f(x)?x3?ax2?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值，则a= ( ) A．2 B．3 C．4
D．5
(5) 在函数y?x3?8x的图象上，其切线的倾斜角小于?4的点中，坐标为整数的点的
个数是 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 （6）函数f(x)?ax3?x?1有极值的充要条件是 （ ）
A．a?0 B．a?0 C．a?0 D．a?0 （7）函数f(x)?3x?4x3 （x??0,1?的最大值是（ ）
A． 12 B． -1 C．0 D．1
（8）函数f(x)=x（x－1）（x－2）…（x－100）在x＝0处的导数值为（ ） A、0 B、1002
C、200 D、100！
（9）曲线y?1?4?3x3?x在点??1，3??处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．123 Ｄ．3
.10设函数f(x)?x?a,集合M=x?1{x|f(x)?0},P={x|f'(x)?0},若
MP,则实数a的取值范围是
( )
.
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A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
11.若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ） A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0
12函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ） A．1个 B．2个 C．3个D． 4个 yy?f?(x) 13. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( ) bA.0
B.1
C.－1
D.2
aO x14.经过原点且与曲线y=x?9x?5相切的方程是( ) A.x+y=0或x25+y=0
B.x－y=0或x25+y=0 C.x+y=0或
x－y
D.x－y=0或
x25=0 25－y=0 15.设f(x)可导，且f′(0)=0,又limf?(x)f(0)( )
x?0x=－1,则
A.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值 C.一定是f(x)的极小值
D.等于0
16.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( ) A.0
B.1
C.(1?2n2?n)
D.4(nn?1n?2) 17、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
18.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=( )
A、103 B、133 C、163 D、193
19.过抛物线y=x2
上的点M（12,14）的切线的倾斜角是( )
A、300 B、450 C、600 D、900
20.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，1）
221.函数y=x3-3x+3在[?3,5]上的最小值是( )
22A、
89 B、1
C、33 D、5
8822、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值 C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
23、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）
24、方程6x5-15x4+10x3
+1=0的实数解的集合中( ) A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二．填空题
25．垂直于直线2x+6y＋1=0且与曲线y = x3
＋3x－5相切的直线方程是 。
26．设f ( x ) = x3
－12x2－2x＋5，当x?[?1,2]时，f ( x ) < m恒成立，则实数m的取值范围为 .
27．函数y = f ( x ) = x3＋ax2＋bx＋a2，在x = 1时，有极值10，则a = , b = 。
28．已知函数f(x)?4x3?bx2?ax?5在x?32,x??1处有极值，那么a? ；b? 29．已知函数f(x)?x3?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 30．已知函数f(x)?x3?3ax2?3(a?2)x?1 既有极大值又有极小值，则实数a的取值
范围是 31．若函数f(x)?x3?x2?mx?1 是R是的单调函数，则实数m的取值范围是 32．设点P是曲线y?x3?3x?23上的任意一点，P点处切线倾斜角为?，则角?的取
值范围是 。
33 f?(x)是f(x)?13x3?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 ． 34．曲线y?x3在点(a,a3)(a?0)处的切线与x轴、直线x?a所围成的三角形的面积为16，则a?_________ 。 .
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35．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移是S?14t4?35t3?2t2，那么速度为零的时刻是_______________。 三．解答题
36．已知函数f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P（0,2）,且在点M(?1,f(?1))处的切线方程为6x?y?7?0.（Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调
区间.
37．已知函数f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值. （Ⅰ）讨论f(1)和f(?1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点A(0,16)作曲线y?f(x)的切线，求此切线方程.
38．已知函数f(x)?ax3?32(a?2)x2?6x?3 （1）当a?2时，求函数f(x)极小值；（2）试讨论曲线y?f(x)与x轴公共点的个数。
39．已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中m,n?R,m?0， （I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；
（III）当x???1,1?时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.
40．设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围．
41．已知f(x)?ax3?bx2?cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(??,0),(1,??)上是减函
数,又f?(132)?2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.
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42．设函数f(x)?ax3?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x?6y?7?0垂直，导函数f'(x)的最小值为?12． （Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值．
43，已知向量a?(x2,x?1),b?(1?x,t)，若函数f(x)?a?b在区间(?1,1)上是增函数，求t的取值范围。
44，已知函数f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值.
(1)讨论f(1)和f(?1)是函数f(x)的极大值还是极小值; (2)过点A(0,16)作曲线y?f(x)的切线,求此切线方程.
45,设0?x?a，求函数f(x)?3x4?8x3?6x2?24x的最大值和最小值。
46用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为?的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角?多大时，容器的容积最大？
47 直线y?kx分抛物线y?x?x2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k的值.
.
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48 ,已知函数f(x)?lnx,g(x)?12ax2?bx,a?0。 （1）若b?2，且函数h(x)?f(x)?g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围。 （2）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P,Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M,N。证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
49．已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c，当x??1时，f(x)的极大值为7；当x?3 时，f(x)有极小值．求（1）a,b,c的值；
（2）函数f(x)的极小值．
50已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x＝1与x＝－2时，都取得极值。
⑴求a，b的值；
⑵若x?[－3，2]都有f(x)>1c?12恒成立，求c的取值范围。
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参考解答
一．1~9 BBDDD CDDA 10~24AAB
二．25~32 1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、?18,?3 5、(??,0) 6、
22?1)，故切线的方程为y?y0?3(x0?1)(x?x0) 因f?(x0)?3(x0
32?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 注意到点A（0，16）在切线上，有16?(x0?1??3,??)7、(??,?1)?(2,??) 8、[0,?2]?[2?3,?)33~34（13）、 ?1（14）、 t?0 三36~42．1．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以
f(x)?x3?bx2?cx?2,f?(x)?3x2?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.???3?2b?c?6,?b?c?2?1.即??2b?c?3,解得故
所
求的解
析式是
??1?b?c?0,b?c??3.f(x)?x3?3x2?3x?2.（2）f?(x)?3x2?6x?3.令3x2?6x?3?0,即x2?2x?1?0.解得
x1?1?2,x2?1?2. 当x?1?2,或x?1?2时,f?(x)?0;当
1?2?x?1?2时,f?(x)?0.故f(x)?x3?3x2?3x?2在(??,1?2)内是增函数，在(1?2,1?2)内是减函数，在(1?2,??)内是增函数.
2．（Ⅰ）解：f?(x)?3ax2?2bx?3，依题意，f?(1)?f?(?1)?0，即
??3a?2b?3?0,解得a?1,b?0?3a?2b?3?0.. ∴f(x)?x3?3x,f?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1). 令f?(x)?0，得x??1,x?1.
若x?(??,?1)?(1,??)，则f?(x)?0，
故f(x)在(??,?1)上是增函数，f(x)在(1,??)上是增函数. 若x?(?1,1)，则f?(x)?0，故f(x)在(?1,1)上是减函数. 所以，f(?1)?2是极大值；f(1)??2是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为y?x3?3x，点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x30,y0)，则点M的坐标满足y0?x0?3x0. .
化简得x30??8，解得x0??2. 所以，切点为M(?2,?2)，切线方程为9x?y?16?0.
3．解：（1）f'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?2aa)(x?1),f(x)极小值为f(1)??2
（2）①若a?0，则f(x)??3(x?1)2，?f(x)的图像与x轴只有一个交点； ②若a?0， ?f(x)极大值为f(1)??a2?0，Qf(x)的极小值为f(2a)?0， ?f(x)的图像与x轴有三个交点；
③若0?a?2，f(x)的图像与x轴只有一个交点；
④若a?2，则f'(x)?6(x?1)2?0，?f(x)的图像与x轴只有一个交点；
⑤若a?2，由（1）知f(x)的极大值为f(2a)??4(133a?4)2?4?0，?f(x)的图像与x轴
只有一个交点；
综上知，若a?0,f(x)的图像与x轴只有一个交点；若a?0，f(x)的图像与x轴有三
个交点。
4．解(I)f?(x)?3mx2?6(m?1)x?n因为x?1是函数f(x)的一个极值点,
所以f?(1)?0,即3m?6(m?1)?n?0，所以n?3m?6
（II）由（I）知，f?(x)?3mx2?6(m?1)x?3m?6=3m(x?1)???2???x???1?m????
当m?0时，有1?1?2m，当x变化时，f(x)与f?(x)的变化如下表： x ?????,1?2?m?? 1?2?m ??1?2?m,1?? 1 ?1,???
高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)
