人教版高中数学必修五
§1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理(一)
基础过关
1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是( ) 5A.3 3C.7 解析
sin Aa5
＝＝. sin Bb3
3B.5 5D.7
答案 A
2.在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A＞sin B C.sin 2A＞sin 2B
B.cos A＜cos B D.cos 2A＜cos 2B
解析 A＞B?a＞b?sin A＞sin B，A正确. 由于(0，π)上，y＝cos x单调递减， ∴cos A＜cos B，B正确. ∵sin A＞sin B＞0， ∴sin2A＞sin2B， 1－2sin2A<1－2sin2B， ∴cos 2A＜cos 2B，D正确.
1
人教版高中数学必修五
答案 C
3.在△ABC中，若a＝2，b＝23，A＝30°，则B为( ) A.60° C.30°
ab
解析 由正弦定理可知sin A＝sin B，
123×2
bsin A3
∴sin B＝a＝2＝2， ∵B∈(0°，180°)， ∴B＝60°或120°，故选B. 答案 B
2πb
4.在△ABC中，A＝3，a＝3c，则c＝________. 2π
解析 在△ABC中，A＝3，a＝3c， ac
由正弦定理可得：sin A＝sin C，
3cc1π＝，sin C＝，由于c 2πππ 则B＝π－3－6＝6. 三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c， b则c＝1. 答案 1 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________． 解析 由正弦定理可得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin 1π B?cos B＝2?B＝3. π答案 3 6.在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，解三角 2 B.60°或120° D.30°或150° 人教版高中数学必修五 形. 解 因为A＋B＋C＝180°，所以C＝105°. 6＋2所以sin C＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝4. abc 由正弦定理sin A＝sin B＝sin C， sin A得a＝sin C·c＝10(3－1)， csin B10sin 30° b＝sin C＝sin 105°＝5(6－2). 所以C＝105°，a＝10(3－1)，b＝5(6－2). 7.在△ABC中，a＝1，b＝3，A＝30°，求边c的长. abbsin A3解 由sin A＝sin B，得sin B＝a＝2. ∵a＜b，∴B＞A＝30°， ∴B为60°或120°. 当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝ a2＋b2＝ 1＋3＝2. 当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1. 综上知c＝1或2. 能力提升 3＋18.在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为2，则三角形的最大角为( ) A.60° C.90° B.75° D.115° 解析 不妨设a为最大边，c为最小边， 3 人教版高中数学必修五 3＋13＋1asin Asin A 由题意有c＝sin C＝2，即＝2. sin（120°－A）整理得(3－3)sin A＝(3＋3)cos A. ∴tan A＝2＋3， 又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°，故选B. 答案 B 5 9.在△ABC中，a＝4，b＝2，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为( ) πA.6 πC.3 πB.4 5D.6π 3 解析 由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝5， π?4?0，??∴A∈，∴sin A＝5， ?2? 524 由正弦定理得4＝sin B， 51 ∴sin B＝2. π?? 又∵a＞b，∴A＞B，且A∈?0，2?， ??π ∴B必为锐角，∴B＝6. 答案 A ab 10.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则sin A＋2sin B＋ 2c ＝________. sin C 解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， abc ∴sin A＝sin B＝sin C＝2R＝2， ab2c ∴sin A＋2sin B＋sin C＝2＋1＋4＝7. 答案 7 4 人教版高中数学必修五 11.锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则sin A＋sin B和cos A＋cos B的大小关系为________. ππ 解析 在锐角三角形中，∵A＋B＞2，∴A＞2－B， π?π?0，??函数y＝sin x在区间上是增函数，则有sin A＞sin (2－B)，即sin A＞cos B， ?2?同理sin B＞cos A，故sin A＋sin B＞cos A＋cos 答案 sin A＋sin B＞cos A＋cos B π4 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝3，cos A＝5，b＝3. (1)求sin C的值； (2)求a的值. π4 解 (1)∵B＝3，cos A＝5， 2π3∴C＝3－A，sin A＝5， 3＋4331?2π? ∴sin C＝sin?3－A?＝2cos A＋2sin A＝10. ??3 (2)由(1)，知sin A＝5， π 又B＝3，b＝3， bsin A ∴由正弦定理，得a＝sin B＝6＝π5. sin3 创新突破 13.在△ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值. 解 (1)因为a＝3，b＝26，B＝2A. ab326 所以在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin B，即sin A＝sin 2A. 2sin Acos A26所以sin A＝3. 5 B. 33×5
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