12.4 直接证明与间接证明
考纲要求
1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
2．了解反证法的思考过程、特点．
1．直接证明 (1)综合法：
①定义：从已知____出发，经过逐步的____，最后达到待证的结论． ②框图表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q
(其中P表示已知条件，Q表示所要证明的结论)． (2)分析法： ①定义：从__________出发一步一步地寻求结论成立的__________，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
②框图表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→
得到一个明显
.
成立的条件
2．间接证明
反证法：一般地，由证明p?q转向证明?q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定?q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的( )． A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件 2．用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )． A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60°
2
3．设t＝a＋2b，s＝a＋b＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是( )． A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s
44442
4．命题“对于任意角θ，cosθ－sinθ＝cos 2θ”的证明：cosθ－sinθ＝(cosθ22222
－sinθ)(cosθ＋sinθ)＝cosθ－sinθ＝cos 2θ过程应用了( )．
A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合应用 D．间接证明法
5．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%； 方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；
p＋qp＋q方案丙：第一次提价%，第二次提价%，
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其中p＞q＞0.比较上述三种方案，提价最多的是( )．
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样多
一、综合法
【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA.求证：
(1)平面AMD∥平面BPC； (2)平面PMD⊥平面PBD. 方法提炼
1．综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．
2．利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的．因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．
3．综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就是保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．
请做演练巩固提升1 二、分析法
【例2】 已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角． 方法提炼
1．分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知． 2．用分析法证“若P，则Q”这个命题的模式是：
为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有…… 这只需证明命题P2为真，从而有…… ……
这只需证明命题P为真． 而已知P为真，故Q必为真．
特别警示：用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错．
3．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明．
请做演练巩固提升4 三、反证法
【例3】 设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 方法提炼
反证法是间接证明问题的一种常用方法，它不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．用反证法证明要把握三点：(1)反设：必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)归谬：必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证．推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的；(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
请做演练巩固提升2
证明类问题中的新情景问题
【典例】 设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意实数函数，如下定义两个函数(f°g)(x)和(f·g)(x)：对任意x∈R，(f°g)(x)＝f(g(x))，(f·g)(x)＝f(x)g(x)．则下列等式恒
成立的是( )．
A．((f°g)·h)(x)＝((f·h)°(g·h))(x) B．((f·g)°h)(x)＝((f°h)·(g°h))(x) C．((f°g)°h)(x)＝((f°h)°(g°h))(x) D．((f·g)·h)(x)＝((f·h)·(g·h))(x)
解析：((f·g)°h)(x)＝(f·g)(h(x))＝f(h(x))g(h(x)) ＝(f°h)(x)(g°h)(x)＝((f°h)·(g°h))(x)． 答案：B
答题指导：对于此类新情景下的新定义问题需要做好以下几点： 1．充分理解题意，理解定义是解题的关键．
2．若是选择、填空题建议以特例理解新定义，可以化难为易、化繁为简．
3．“按规则要求办事”，即新定义如何要求就如何去做，此法虽然可能会繁琐，但只要理解透彻，运算得当也能解决问题．
1．(2012浙江绍兴模拟)设a＝lg 2＋lg 5，b＝e(x＜0)，则a与b的大小关系为( )． A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b
2．(2012山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )．
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数
3．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则( )．
A．F(x)、G(x)均为偶函数 B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数 C．F(x)与G(x)均为奇函数 D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数
x4．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a?b)＜(a?b).
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参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．(1)①条件 推理 (2)①待证结论 充分条件 基础自测 1．A 2.B
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3．D 解析：∵s－t＝a＋b＋1－a－2b＝(b－1)≥0， ∴s≥t.
4．B 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件?结论．
5．C 解析：设产品的原价为a，则按方案甲可得提价后的价格为A＝a(1＋p%)·(1＋q%)；按方案乙可得提价后的价格为B＝a(1＋q%)(1＋p%)＝A；按方案丙可得提价后的价格为
?p＋q%??1＋p＋q%? C＝a?1＋???2??2??
?p＋q%?2， ＝a?1＋?2??
?p＋q%?2－a(1＋p%)(1＋q%)＝a(p%－q%)2＞0，故应选C.
则C－B＝a?1＋?2?4?考点探究突破
【例1】 证明：(1)因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD， 所以PB∥MA.
因为PB?平面BPC，MA?平面BPC， 所以MA∥平面BPC. 同理，DA∥平面BPC.
又MA?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD＝A， 所以平面AMD∥平面BPC.
(2)连接AC，设AC∩BD＝E，取PD的中点F，连接EF，MF.
因为四边形ABCD为正方形， 所以E为BD的中点． 因为F为PD的中点，
1
所以EFPB.
21
又AM∥PB，
2
所以四边形AEFM为平行四边形． 所以MF∥AE.
因为PB⊥平面ABCD，AE?平面ABCD， 所以PB⊥AE. 所以MF⊥PB.
因为四边形ABCD为正方形， 所以AC⊥BD. 所以MF⊥BD.
所以MF⊥平面PBD. 又MF?平面PMD，
所以平面PMD⊥平面PBD.
【例2】 证明：要证明B为锐角，根据余弦定理，
a2＋c2－b2
也就是证明cos B＝＞0，
2ac222
即需证a＋c－b＞0.
2222
由于a＋c－b≥2ac－b，
222
要证a＋c－b＞0.
2
只需证2ac－b＞0.
∵a，b，c的倒数成等差数列， 112
∴＋＝，即2ac＝b(a＋c)．
acb2
∴要证2ac－b＞0，
2
只需证b(a＋c)－b＞0， 即证b(a＋c－b)＞0.
上述不等式显然成立． ∴B必为锐角．
【例3】 (1)证明：若{Sn}是等比数列，
2
则S2＝S1·S3，
222
即a1(1＋q)＝a1·a1(1＋q＋q)，
22
∵a1≠0，∴(1＋q)＝1＋q＋q， 解得q＝0，这与q≠0相矛盾， 故数列{Sn}不是等比数列．
(2)解：当q＝1时，{Sn}是等差数列．
当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3，
2
2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q)． 由于a1≠0，
2
∴2(1＋q)＝2＋q＋q，
2
即q＝q，
∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．
综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列． 演练巩固提升
1．A 解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
x0
而b＝e＜e＝1，故a＞b.
2．B 解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．
3．D 解析：由F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)知F(x)＝F(－x)，G(－x)＋G(x)＝0.
4．证明：因为a，b∈(0，＋∞)，要证原不等式成立，
只需证[(a＋b)]＜[(a＋b)]，
332223
即证(a＋b)＜(a＋b)，
6336642246
即证a＋2ab＋b＜a＋3ab＋3ab＋b，
334224
只需证2ab＜3ab＋3ab. 因为a，b∈(0，＋∞)，
22
所以即证2ab＜3(a＋b)．
2222
而a＋b≥2ab,3(a＋b)≥6ab＞2ab成立， 所以(a＋b)＜(a＋b).
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2021届高考数学一轮复习 第十二章算法初步与框图、推理与证明、复数12.4直接证明与间接证明教案 新人教B版
