尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解（第5章 收入效应和替代效应）

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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）

第5章 收入效应和替代效应

复习笔记

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1．需求函数及其性质 （1）需求函数

一般地，普通需求函数又称马歇尔需求函数，它反映了在给定的（各种商品的）价格与收入下，能使消费者实现效用最大化的各种商品的需求量，因而是价格与收入的（向量）函数。

（2）需求函数的性质 一般而言，需求函数关于价格P和收入I是零次齐次的，即对任何商品xi，在t?0时有： 其原因在于，当价格和收入同时发生相同比例的变化时，消费者的预算约束没有发生实质性的变化，因而理性的消费者也不会改变其最优消费选择，（在理论上）消费者的需求不受“纯”通货膨胀的影响。

2．收入变化对消费者最优选择的影响 （1）收入变化与正常品、劣等品

收入变化会引起消费者预算线的平行移动，从而引起消费者最优消费选择发生相应的变化。根据收入变化时消费变化的方向，可以将商品分为正常品和劣等品。所谓正常品是指随着收入的增加其需求也增加的商品，即少的商品，即

?xi?0；所谓劣等品是指随着收入的增加其需求减?I?xi?0。正常品还可分为必需品和奢侈品。必需品是需求收入弹性大于0小于?I?xI1的物品，奢侈品是需求收入弹性大于1的物品。即对于必需品，有eI?i???0,1?，对

?Ixi于奢侈品，有eI??xiI??1。 ?Ixi（2）恩格尔定律

恩格尔定律是一个统计规律，是指在一个家庭或一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少。用弹性的概念来表述该定律为：对于一个家庭或一个国家来说，富裕程度越高，则食物支出的收入弹性就越小；反之，则越大。

3．价格变化对消费者最优选择的影响 （1）吉芬商品

吉芬商品是指这样一种商品，如果该商品的价格上升，消费者对它的需求量上升；当它

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?x?0。 ?P的价格下降时，其需求量也下降。用需求函数的偏导数表达就是：

（2）价格变化所引起的替代效应与收入效应 ①替代效应与收入效应的含义

替代效应是指由商品的价格变动所引起的商品相对价格的变动，进而由商品的相对价格变动所引起的商品需求量的变动。

收入效应是指由商品的价格变动所引起的实际收入水平变动，进而由实际收入的变动所引起的商品需求量的变动。一种商品价格下降可能产生消费者实际收入提高的效应，因为消费者因价格下降而导致的购买力的提高使得他有可能改变商品的购买量。

②正常品的替代效应和收入效应（注：此为希克斯替代效应与收入效应）

如图5-1中的横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是正常品。商品1的价格P1下降前的消费者的效用最大化的均衡点为a，P1下降后消费者的均衡点为b。价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为X1'X1'''，这便是价格下降所引起的总效应。这个总效应可以被分解为替代效应和收入效应两个部分。

图5-1 正常品的替代效应和收入效应

替代效应：作一条平行于预算线AB'且与无差异曲线U1相切的补偿预算线FG。FG与U1相切，表示假设的货币收入的减少（预算线的位置由AB'向左平移到FG表示）刚好能使消费者回到原有的效用水平。FG与AB'平行，则以这两条预算线的相同的斜率，表示商品1价格和商品2价格的一个相同的比值P1/P2，而且，这个商品的相对价格P1/P2是商品1的价格P1变化以后的相对价格。补偿预算线FG与U1相切于均衡点c，与原来的均衡点a相比，需求量的增加量为X1'X1''，这个增加量就是在剔除了实际收入水平变化影响以后的替代效应。进一步地，就预算线AB和补偿预算线FG而言，它们分别与无差异曲线U1相切于a、c两点，但斜率却是不相等的。预算线AB的斜率绝对值大于补偿预算线FG，AB所表示的商品的相对价格P当AB移至FG时，随着商品的相对价格P消费者1/P2大于FG，1/P2的变小，

为了维持原有的效用水平，会沿着既定的无差异曲线U1由a点下滑到c点，增加对商品1的购买而减少对商品2的购买，即用商品1去替代商品2。于是，由a点到c点的商品1的需求量的增加量X1'X1''，便是P1下降的替代效应。

收入效应：把补偿预算线FG再推回到AB'的位置上去，于是，消费者的效用最大化的均衡点就会由无差异曲线U1上的c点到无差异曲线U2上的b点，相应的需求量的变化量X1''X1'''就是收入效应。

③劣等品的替代效应和收入效应

如图5-2中的横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是劣985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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等品。商品1的价格P1下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a、b点，因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为X1'X1''，这是总效应。作与预算线AB'平行且与无差异曲线U1相切的补偿预算线FG，将总效应分解成替代效应和收入效应。P1下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点a运动到均衡点c，相应的需求增加量为X1'X1'''，这就是替代效应，它是一个正值。而P1下降引起的消费者的实际收入水平的变动，使消费者由均衡点c运动到均衡点b，需求量由X1'''减少到X1''，这就是收入效应，它是一个负值。

图5-2 劣等品的替代效应和收入效应

对劣等品来说，替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应与价格呈同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，总效应与价格呈反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。但是，在少数场合下，某些劣等品的收入效应的作用会大于替代效应，这种特殊的劣等品就是吉芬商品。

④吉芬商品的替代效应和收入效应

如图5-3中的横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬商品。商品1的价格P1下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a点和b点，相应的商品1的需求量的减少量为X1'X1''，这就是总效应。通过补偿预算线FG可得X1''X1'''为替代效应；X1'X1'''是收入效应，它是一个负值。而且，负的收入效应X1'X1'''的绝对值大于正的替代效应X1''X1'''的绝对值，所以，最后形成的总效应X1'X1''为负值。在图5-3中，a点必定落在b、c两点之间。对吉芬商品来说，替代效应与价格成反方向变动，收入效应与价格成同方向变动，但收入效应的作用大于替代效应的作用，总效应与价格是同方向变动，相应的需求曲线就呈现向右上方倾斜的特殊形状。

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图5-3 吉芬商品的替代效应和收入效应

（3）马歇尔需求曲线与希克斯补偿需求曲线 ①马歇尔需求曲线是用几何图形表示的、在其他条件不变情况下商品需求量与其价格之间的数量关系。这里的“其他条件不变”是指消费者的收入、偏好及其他商品的价格不变。在这样的假定下，可利用无差异曲线、预算线及效用最大化条件推导出在各种不同价格水平下消费者对某种商品的需求量，在“价格—需求”坐标系中将这些点连接起来即可得到该商品的需求曲线。马歇尔需求曲线的图形推导如图5-4所示。

图5-4 马歇尔需求曲线的推导

②补偿需求曲线

希克斯补偿需求曲线是在保持消费者效用不变的条件下，消费者对商品的需求量和商品价格之间的关系的轨迹。希克斯补偿需求曲线的图形推导如图5-5所示。

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图5-5 希克斯需求曲线的推导

③两者之间的关系

?。马歇尔需求和希克斯需求满足关系xC?Px,Py,U??x?马歇尔需求曲线?Px,Py,E?Px,Py,U??和希克斯需求曲线如图5-6所示。一般地，对于正常品而言，马歇尔需求函数比希克斯需求

函数平坦，这是因为马歇尔需求既包括替代效应，又包括收入效应；而希克斯需求仅仅包括替代效应。

图5-6 正常商品的马歇尔需求函数和希克斯需求函数

（4）价格变化效应的数学方法——斯拉茨基方程 由马歇尔需求与希克斯补偿需求之间的关系式：

?xC?Px,Py,U??x??Px,Py,E?Px,Py,U??

对商品x的价格求导可得：

从而可得斯拉茨基方程为：

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其中：

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?x为商品x价格变化的总效应； ?Px

斯勒茨基方程可写为：

（5）价格与收入弹性

4．显示偏好原理

显示性偏好理论是由保罗·萨缪尔森提出来的，其基本精神是：消费者在一定价格条件下的购买行为暴露了或显示了他内在的偏好倾向。因此可以根据消费者的购买行为来推测消费者的偏好。这是一种不基于“偏好关系（效用函数）→消费者选择”的逻辑思路，而是一个相反的过程，即“消费者选择→偏好关系”。

（1）显示偏好原理

设消费者在价格为?p1,p2?时购买的商品束为?x1,x2?，如果另一个商品组合?y1,y2?满足如下条件：

p1x1?p2x2?p1y1?p2y2

在这种情况下，若消费者总是在他能够购买的商品束中选择他最偏好的商品束，则一定有：?x1,x2???y1,y2?，这就是显示偏好原理。

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（2）直接显示偏好

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假设?x1,x2?是消费者在收入为m时按价格?p1,p2?购买的商品束，并且消费者总是花尽所有的收入，因此有等式形式的预算约束p1x1?p2x2?m。又设?y1,y2?是在收入既定条件下有能力购买的商品束，这就意味着它满足如下不等式预算约束：p1x1?p2x2?p1y1?p2y2。如果这一不等式成立，且?y1,y2?确实是不同于?x1,x2?的商品束，就称?x1,x2?直接显示偏好于

?y1,y2?，记作：?x1,x2???y1,y2?。如图5-7所示。 D

图5-7 直接显示偏好

（3）间接显示性偏好

如果?x1,x2?直接显示偏好于?y1,y2?，?y1,y2?直接显示偏好于?z1,z2?，则称?x1,x2?间接显示偏好于?z1,z2?，记作：?x1,x2???z1,z2?，如图5-8所示。

I

图5-8 间接显示偏好

（4）显示偏好弱公理（WARP）与显示偏好强公理（SARP） ①WARP的含义

如果?x1,x2?是?y1,y2?的直接显示偏好，且?x1,x2?和?y1,y2?不同，那么?y1,y2?就不可能是?x1,x2?的直接显示偏好。

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换言之，假定一个商品束?x1,x2?是按价格?p1,p2?购买的，另一个商品束?y1,y2?是按价格?q1,q2?购买的，那么，只要：

p1x1?p2x2?p1y1?p2y2

就不可能再有：

q1x1?q2x2?q1y1?q2y2

②显示偏好强公理（SARP）

如果?x1,x2?被直接或间接显示偏好于?y1,y2?，且?y1,y2?与?x1,x2?不同，则?y1,y2?不可能被直接或间接显示偏好于?x1,x2?。

5．消费者剩余

（1）消费者剩余的含义

消费者剩余是指对于一件商品，消费者所愿意做出的最大支付与他的实际支付之间的差额。假设消费者的需求曲线是p?q?，则消费者剩余CS可以表示为：

其中?0p?q?dq表示需求曲线下方的面积，即消费者愿意的最大支付，pq由矩形代表，是消费者的实际支付，由此可用需求曲线以下，价格轴以上的面积表示消费者剩余。 （2）消费者剩余的变化 消费者剩余的变化为：

?CS?CS?Q2??CS?Q1?

Q图5-9可以细分引起消费者剩余变化的原因。如图5-9所示，消费者剩余的变化由两个小区域，即由R表示的矩形区域和由T表示的不精确的三角形区域构成。其中矩形损失是由于涨价导致消费量减少，从而使消费者要对他继续消费的每单位商品支付更多的货币造成的；三角形损失则是由于消费数量减少而造成的。所以，消费者的总损失是这两个效应之和。

图5-9 消费者剩余的变化

（3）补偿变化与等价变化

补偿变化（CV）和等价变化（EV）的共同特点都是用货币的变化量衡量消费者剩余的变化。补偿变化是指价格变化后，要使消费者的境况同价格变化前一样好，他必须得到的985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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货币补偿数量。等价变化是指在价格变化前，使他的境况变的和价格变化后一样好而必须减少的他现在持有的货币数量。

利用支出函数和希克斯需求函数，等价变化和补偿变化也可以表示为：

ct,v?p',I??dt EV?I?e??p,v?p',I????e??p',v?p',I????e??p,v?p',I?????p0x???ct,v?p,I??dt CV?e??p',v?p,I????I?e??p',v?p,I????e??p,v?p,I?????p0x???p'p'从图5-10中看，EV?A?D，CV?A?B?C?D，CS?A?B?D，所以消费者剩余的

变化介于等价变化和补偿变化之间。

图5-10 EV、CV和消费者剩余

5.2 课后习题详解

1．口渴的Ed仅喝纯泉水，但是他可以购买0.75升或2升瓶装的矿泉水。由于水本身是同质的，所以他将以上两种瓶装矿泉水视为完全替代品。

（1）假定Ed的效用仅取决于其消费的水量，而瓶子对他而言无任何效用，请将其效用函数表示为规格为0.75升（x）和2升（y）的瓶的数量的函数。

（2）求出需求函数x?px,py,I?。

（3）画出I和py不变时，x的需求曲线。 （4）I和py的变化如何影响x的需求曲线？

（5）在此情况下，x的补偿需求曲线形状是什么样的？ 解：（1）Ed的效用函数可以表示为：U?0.75x?2y。

（2）由Ed的效用函数可知，他的偏好为完全替代型偏好，所以为了实现效用最大化，

p3他将购买相对便宜的那种商品，由于无差异曲线斜率为，预算约束线斜率为x，即：

py8当当

px33?时，即px?py时，x?I/px，y?0； py88px3I3?时，即px?py时，x?0，y?； py8p8y（3）x的需求曲线如图5-11所示。

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图5-11 x的需求曲线

（4）收入I的提高将使x的需求曲线向右上方移动。商品y的价格降低将不会影响x的需求，直到py?8px8p时为止。当py?x时，商品x的需求减至0。 33（5）x的收入补偿需求曲线表示成当前消费的一个单点?x,px?。假定x?0，则px的任何变化都会改变从该点处所得的效用。

2．戴维每周有3美元可供自由支配。他只喜欢花生酱和果冻三明治，因此他将所有货币都花费在花生酱（每盎司0.05美元）与果冻（每盎司0.10美元）上。面包则由一位热心的邻居免费提供。戴维偏好自己的吃法，严格按1盎司果冻2盎司花生酱的比例配置三明治，从不改变配方。

（1）戴维一周中用3美元购买花生酱与果冻各多少？

（2）如果果冻价格上升至每盎司0.15美元，他购买花生酱与果冻各多少？

（3）在（2）中，果冻价格上涨后，戴维的可支配收入应该增加多少才能补偿价格上涨？

（4）图示（1）到（3）的结论。

（5）在何种意义下，这个问题仅包括花生酱或果冻三明治一种商品？图示这种单一商品的需求曲线。

（6）根据对果冻需求的替代效应与收入效应来讨论这一问题的结论。 解：（1）由题可知，戴维的偏好是互补型的偏好。假设花生酱的消费量为x，果冻三明治的消费量为y，则戴维的效用函数可以表示为：U?min?x，2y?。

因此，效用最大化要求：x?2y；此外，预算约束为：0.05x?0.1y?3。 因而可以解得：x?30，y?15。 （2）如果果冻的价格增至每盎司0.15美元，则戴维的预算约束变为：0.05x?0.15y?3；结合效用最大化条件x?2y，可知：x?24，y?12。

（3）为了在价格上涨后继续消费x?30，y?15，戴维需要多购买6盎司的花生酱和3盎司的果冻三明治，这要求收入增加：6?0.05?3?0.15?0.75（美元）。

（4）（1）到（3）的结论如图5-12所示。

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图5-12 互补型偏好下价格变化的影响

（5）因为戴维仅按固定的比例使用花生酱和果冻，而且面包是免费的，所以，可以将此问题视为他以价格ps?2px?py来购买三明治。

在（1）问中，ps?0.20，花生酱—果冻三明治的数量为：qs?15； 在（2）问中，ps?0.25，花生酱—果冻三明治的数量为：qs?12。 一般而言，花生酱—果冻三明治这种单一商品的需求曲线为：qs?3，是一条双曲线。 ps（6）对于固定比例的效用函数而言，不存在替代效应，价格的变化仅导致收入效应。

3．如果任意一条从原点出发的直线通过所有的无差异曲线斜率相等的点，即MRS取决于y/x的点，那么效用函数是位似的。

（1）证明：在这种情况下，?x/?I是常数。

（2）证明：如果个人偏好可以用位似的无差异曲线图来表示，则价格与数量必定按相反方向变化，即不会产生吉芬悖论。

证明：（1）随着收入的增加，px/py的比值保持不变，效用最大化条件要求MRS?px/py也保持不变。而MRS取决于y/x，从而y/x也必须保持不变。又因为收入仅用于购买x和y，所以x和y都与收入成比例，即有?x/?I是常数。

（2）由（1）可知，

?x?y?0，?0，这说明x，y两种商品都是正常物品，而吉芬品?I?I为劣等品，所以吉芬悖论不成立。

4．假设效用由下式给出：

U?x,y??x0.3?y0.7

（1）用非补偿需求函数计算间接效用函数与支出函数。

（2）用（1）中计算出的支出函数与Shephard引理计算x的补偿需求函数。

（3）用（2）中得出的结论与x商品的非补偿需求函数证明本题符合斯勒茨基方程式。 解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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x?0.3I/px，y?0.7I/py

从而可得间接效用函数为：

0.30.70.30.7U?0.30.3?0.70.7I/pxpy?BI/pxpy

其中，B?0.30.3?0.70.7。

0.30.7根据对偶性质，支出函数为：E?B?1?U?pxpy。

?0.7（2）利用Shephard引理可知，补偿需求函数为：xc??E/?px?0.3B?1Upx?p0.7y。

（3）因为：ex,p??1，ex,I?1，ex,p??0.7，sx?0.3，所以可得：

xcxex,px?exc,p?sxex,I??0.7?0.3?1??1

x故本题符合斯勒茨基方程式。

5．假设x与y商品的效用函数为：

U?x,y??xy?y

（1）计算x与y的非补偿（马歇尔）需求函数，并描述I或其他商品的价格变化怎样使x与y的需求曲线发生变化。

（2）计算x与y的支出函数。

（3）用（2）中计算出的支出函数计算x与y商品的补偿需求函数。描述当收入或其他商品价格发生变化时，x与y的补偿需求函数将如何发生变化。

解：（1）效用最大化问题为：

maxU?x,y??xy?ys..tpxx?pyy?I

设拉格朗日函数为：

L?xy?y???I?pxx?pyy?

一阶条件为：

?L?y??px?0?x?L?x?1??py?0 ?y?L?I?pxx?pyy?0??从而可以解得马歇尔需求函数为：

x?I?px 2pxy?I?px 2py985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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因此，py的变化不影响x，而px的变化影响y。收入I的增加将使x与y的需求都增加，从而需求曲线向右上方移动。

?I?px?； （2）将x与y的需求函数代入效用函数，可得间接效用函数为：U?4pxpy2从而可以解得支出函数为：E?4pxpyU?px。 （3）补偿需求函数为：

xc??E/?px?pyUpxpyUpxUpxpyU?1

yc??E/?py?

而非补偿需求不依赖于py。收入的变化对补偿需求没有影响。 x的补偿需求依赖于py，

6．需求理论中的许多经验研究工作主要集中于收入份额。对于任何商品x，其收入份额定义为：sx?得。

（1）证明：某商品的预算份额关于收入的弹性?es??x,Ipxx。在本问题中，我们将证明大多数需求弹性可以从相应的份额弹性中求I??sxI???等于ex,I?1。请用一些数?Isx?值例子来解释这一结论。

（2）证明：某商品的预算份额关于其自身价格的弹性esx,px??sxpx?等于ex,px?1。请用?pxsx一些数值例子来解释这一结论。

（3）利用你在（2）中所得的结论证明：商品x关于自身价格的支出弹性

ex?px,px???px?x?1?等于ex,px?1。 ?pxx??sp?（4）证明：某商品的预算份额关于其他商品价格的弹性?es,p?x?y?等于ex,p。

??pysx???xyy（5）在第4章的扩展部分，我们已经证明了对于CES效用函数而言，商品x的支出份

1?额为sx?，其中k??1??。 k?k1?pypx??1利用此方程来证明方程：exc,p???1?sx??。

x提示：此问题可以通过假定px?py，从而sx?0.5来简化。

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esx,I

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证明：（1）由商品收入份额函数sx?pxx，可得： I?pxx/IIpx?x/?I?pxxI2I?????ex,I?1

?Ipxx/IpxxI2x故如果ex,I?1.5，则es,I?0.5。 （2）由商品收入份额函数sx?esx,pxpxx，可得： I??pxx/I?pxp?x/?px?xI???x??ex,px?1

?pxpxx/IIxx如果ex,p??0.75，则es,p?0.25。

xx（3）因为在（2）中收入在求导时可以被消去，所以有：ep（4）由商品收入份额函数sx?esx,py?xx,px?ex,px?1。

pxx，可得： I?pypxx/I?px?x/?pypyI?xpy????ex,py Ipxx?pyx??pxx/I??py（5）由（2）可得：

esx,px?k?k?1kpypx?1?pkyp?k2x??px?1?ppky?kx??1?pk?kkpypxky?kpx

k?k为了简化，令d?pypx，从而有：ex,px?esx,px?1?kdkd?1?d。 ?1?1?d1?d再利用斯拉茨基方程，以及ex,I?1，可得：

exc,p?ex,px?sx?xd?k?1?kd?d?11?????1?sx?? 1?d1?d1?d

7．假定某人将汉堡包和奶酪视为完全互补品：他（或她）总是用一片汉堡包和一片奶酪做成一个汉堡包—奶酪三明治。同时假定此人仅购买汉堡包和奶酪这两种商品，且面包是免费的。证明：

（1）如果汉堡包的价格等于奶酪的价格，则汉堡包需求的自身价格弹性是-0.5；汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性也是-0.5。

（2）解释为什么（1）中的结果仅反映收入效应，而不是替代效应。此问题中的补偿价格弹性是多少？

（3）利用（2）中的结果说明：如果一片汉堡包的价格是一片奶酪价格的两倍，则（1）问的答案将如何改变？

（4）解释此问题可以通过假定此人仅消费一种商品——汉堡包—奶酪三明治来求解。 解：（1）汉堡包的消费量用h表示，奶酪的消费量用c表示，因为汉堡包和奶酪是按照固定比例消费的，所以效用函数为：min?h,c?，因而汉堡包的需求为：

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h?I/?ph?pc?

其中，I为收入，ph，pc分别为汉堡包和奶酪的价格。 汉堡包需求的自身价格弹性为：

eh,ph?ph?ph?pc??ph?hph?I???? ?phh?ph?pc?2Ip?p?hc?汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性为：

eh,pc??pc

?ph?pc?所以，当ph?pc时，eh,p?eh,p??0.5。

hc（2）在固定比例效用函数下，不存在替代效应。补偿价格弹性为0，由斯勒茨基方程可知：ex,p?0?sx??0.5。

x21（3）当ph?2pc时，由（1）可知：eh,pc??，eh,pc??。

33（4）如果此人仅消费汉堡包—奶酪三明治，则它们的需求的价格弹性为-1。该复合商

品的价格弹性反映了整个三明治价格变化时汉堡包和奶酪的价格之间将成比例变化。例如，在（1）问中，汉堡包价格上涨10%，将导致三明治的价格上涨5%，从而导致需求数量下降5%。

8．证明：

（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下（??1），商品x和y之间的价格弹性之间的关系为：ex,p?ey,p??2。

xy（2）如果??1，则ex,p?ey,p??2；如果??1，则ex,p?ey,p??2。对此结论提供一

xxxy个直观的解释。

（3）你如何将此结论推广到更多商品的情形？讨论这样的推广是否极其有意义。 答：（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下，价格弹性分别为：

ex,px???1?sx???sx ey,py??sx??sy

从而有：ex,p?ey,p????1??2。

xy（2）本题所欲证的结论可以由（1）问中的结论直接得到。直观上，当?大时，价格弹性将大；当?小时，价格弹性将小。

（3）对于多变量CES函数而言，该结论的推广是可行的，但是该函数对行为施加的约束却有可能不成立。

9．假定存在n种商品，商品i的收入份额为si。同时，我们定义如下弹性： 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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ei,I??xiIg ?Ixiei,j=?xipjg ?pjxi利用这些标记来证明： （1）齐次性：?ei,j?ei,I?0；

j?1n（2）恩格尔加总性：?siei,I?1；

i?1n（3）古诺加总性：?siei,j??sj。

i?1n证明：（1）由于任何商品的需求关于价格都是零次齐次的，所以欧拉定理意味着：

?pjj?1n?xi?x?Ii?0 ?pj?I两边乘以1/xi可得：?pj?xiI?xipj?xiI?xi??0，又因为ei,j?，ei,I?，所以：

j?1x?px?Ix?Ix?piijiijn?ei,j?ei,I?0

j?1n（2）由预算约束?pixi?I对收入I求导可得：

i?1ni?1?pi?xi/?I?1

n两端乘以xiI/xiI可得：?siei,I?1。

i?1n（3）由预算约束?pixi?I对pi求导可得：

i?1ni?1?pi?xi/?pj?xj?0

n两端乘以

npjxi?可得：?siei,j??sj。

i?1Ixi

10．某人在三年中的消费行为如表5-1所示：

表5-1

该行为是否与显示偏好强公理相一致？

答：该行为违背了显示偏好强公理。其理由如下： 第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束，因为在第二年的价格下，第一年和第二年985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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的消费束的总支出是相同的。

第二年的消费束也显示偏好于第三年的消费束，因为在第二年的价格下，第二年和第三年消费束的总支出是相同的。

但是在第三年的价格下，第二年的消费束的支出小于第三年的消费束的支出，而第二年的消费束却没有被选择，因而这违背了显示偏好强公理。

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