人教版高中数学选修2-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
自学引导
掌握复数代数形式的乘法、除法运算法则、掌握i次幂的有关性质，了解共轭复数的概念. 课前热身
1.复数的乘法法则．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________. 2．共轭复数．
如果两个复数满足________________________，那么称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用__________表示，即z＝a＋bi，则z＝__________(a，b∈R). 3．复数的除法法则．
z1a＋bi
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则＝＝__________(c＋di≠0).
z2c＋di名师讲解 1.复数的乘法
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果实部、虚部要分开(i2换上－1)．
(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也运用． 2．复数的除法
a＋bi
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成商的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝；
c＋di然后分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果要实部、虚部分开． 3．共轭复数的性质
(1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝z. (2)z·z＝|z|2＝|z|2.
(3)两个共轭复数的对应点关于x轴对称． 4．几个常用结论
(1)i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1， i4n3＝－i(n∈N*)． 1
(2)(1±i)2＝±2i，＝－i.
i(3)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.
1
＋
＋
＋
人教版高中数学选修2-2 典例剖析
题型一 复数的乘除运算 例1 计算：
(1)(1＋i)2＋(1＋i)(1－i)； (2)(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)； 2－i－23＋i(3)＋； 3－4i1＋23i2＋2i22010(4)＋(). (1－i)21＋i
规律技巧 复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)，如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算. 变式训练1 计算： 1＋i(1)； 1－i
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； 13
(3)(＋i)(4i－6)； 224＋3i1(4)＋. 1＋2ii
题型二 共轭复数的应用
例2 已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.
2
人教版高中数学选修2-2
规律技巧 解此类题型的常用解法是设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解.
变式训练2 设z∈C，z为z的共轭复数，若z·z＋iz＝
题型三 in的周期性
例3 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝__________.(用a＋bi的形式表示，a，b∈R) 规律技巧 高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除法运算中，属于低档题，只要掌握法则，认真求解即可.
变式训练3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值．
10
，求z. 3＋i
——★ 参 考 答 案 ★——
课前热身
1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i
3
高中数学选修2-2学案10：3.2.2 复数代数形式的乘除运算
