第十二讲 不定方程
趣题引路】
暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次．
解析 设胜x场，平y场，则有 3x＋y＝17， 即3x＝17－y． ∵x，y∈N，
∴0≤3x≤17，∴0≤x≤5，
?x?0?x?1?x?2?x?3?x?4?x?5可得?，?，?，?，?，?．
y?17y?14y?11y?8y?5y?2??????
点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数，一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不定方程，但上面的问题中隐含了条件x，y∈N，我们对其进行分析，得出了x，y的有限解，也就说明了不定方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行研究．
知识延伸】
一、不定方程的整数解
求不定方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知数的取值范围，再在这个范围中取值求解．
1．构造不等式缩小取值范围求解 例1 求21x＋15y＝123的正整数解．
解析 原方程可以化为7x＋5y＝41， 7x＝41－5y， ∵x，y∈N， ∴7≤7x≤36， ∴1≤x≤5．
∵5｜5y，∴5｜(41－7x)， ∴7x的个位数必是1或6， ?x?3∴?．
y?4?＋
点评：通常先确定系数较大的未知数的范围，本题求出1≤x≤5后，本可以使x分别取1~5五个整数代入求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便．
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2．利用通解定理求解
?x?x0定理：如果a、b是互质的整数，c是整数，且方程ax＋by＝c有一组解?，则此方程的一切整数解可表
y?y0??x?x0?bt示为?，(其中t为整数)
y?y?at0?例2 (198年“希望杯”试题)篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是 ．
解析 设足球x个，排球y个，则篮球7x个． 依题意有 8x＋y＝25．
?x?3＋
∵x，y∈N，易知?是方程的解，
y?1??x?3?t＋
∴其通解为?(t∈N)
?y?1?8t?3?t?1又∵x≥1，y≥1，?，
1?8t?1?可解得－2≤t≤0 ?x?1当t＝－2时，?；
y?17??x?2当t＝－1时，?；
y?9??x?3当t＝0时，?．
y?1?所以，排球数为1个、9个或17个．
点评：对于一些系数比较简单的不定式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由定理得出通解，然后根据题意求出t的取值范围，再代入求出未知数的值．
3．分离整系数求解
例3 (2002年新加坡数学竞赛题)正整数m、n满足8m＋9n＝mn＋6，则m的最大值为 ． 解析 8m－mn＝－9n＋6；即(8－n)m＝－9n＋6． 当n＝8时，原方程无解； 当n≠8时，m＝
?9n?6?9n?72?6666＝＝9＋．
?n?8?n?8n?8当n－8＝1，即n＝9时，m有最大值9＋66＝75，满足题意． 所以，m的最大值为75．
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二、不定方程组
一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求n个未知数需要n个独立的关于它的方程．当未知数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组．
?2x?5y?4z?15①
例4 已知x、y、z满足? ，则x＋y＋z＝ ．
② 7x?y?3z?14?解析 要求出x＋y＋z的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1︰1︰1． ①×k得 2kx＋5ky＋4kz＝15k，③ ③＋②得
(2k＋7)x＋(5k＋1)y＋(4k＋3)z＝15k＋14，④ 依题意得 2k＋7＝5k＋1＝4k＋3， 解之得 k＝2． 将k＝2代人④式得 11x＋11y＋11z＝44， ∴x＋y＋z＝4．
点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来，否则是求不出来的．如本题求x＋y＋2z是求不出来的，因为由2k＋7＝5k＋1得出k＝2，代入2(4k＋3)不能等于5k＋1．
?4x?3y?3z?0 ①例5 已知?
x?3y?z?0 ②?xy?2yz且xyz≠0，求2的值.
x?y2?z2解析： ①－②得3x－2z＝0，即x＝将x＝
2z. 321z代人②得 y＝?z . 39211(z)(?z)?2(?z)zxy?2yz62199再将x＝z，y＝?z代人所求代数式2?3?z 2221x?y?z1139(z)2?(?z)2?z239点评：同例4一样，本题也求不出x、y、x的具体值，但方程组和求出的代数式是关于x、y、z的齐次式，所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出.
三、不定方程组的整数解
不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将其化为不定方程求解.
例6 中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
解析：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x、y、z，则有 ?x?y?z?100 ①? ?z5x?3y?=100 ②?3?消去x得7x＋4y＝100 ③ ∵x，y∈N
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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲 不定方程
