3．2 一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式的解法
学习目标：1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.掌握分式不等式的解法．(重点)3.能借助“三个二次”的关系解决与一元二次不等式有关的解集问题．(难点)
一元二次不等式 (1)一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式． (2)一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系 Δ＝b2－4ac y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 [基础自测]
1．下列不等式中是一元二次不等式的是________．(填序号)
①(m＋1)x2－3x＋1<0；②2x2－x>2；③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)<0. [解析] ③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；②是指数不等式．
有两个不相等的实数根x1，x2且x1 2．不等式x2＋x－2<0的解集为________． [解析] 令f(x)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，画出函数图象可知，当－2 [答案] {x|－2 一元二次不等式的基本解法 解下列不等式． (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)－x2＋6x－10>0. 1 [解] (1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数 2y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．用阴影描出原不等式的解，由图可得原不等 ?1? 式的解集为?x|－3 ? ? (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x13－33＋3＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得 33原不等式的解集为 ??3－?x|x≤?3? 3 ?3＋3? ?. 或x≥?3? (3)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根， 又∵二次项系数大于0， ∴x2－6x＋10>0恒成立． ∴原不等式的解集为?. [规律方法] 解一元二次不等式的步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 提醒：画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图，由图象得出不等式的解集更加直观清楚． [跟踪训练] 1．求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0； (3)(5－x)(x＋1)≥0. [解] (1)由x2－5x>6， 得x2－5x－6>0， ∴(x－6)(x＋1)>0， ∴x>6或x<－1. ∴不等式的解集为{x|x>6或x<－1}． (2)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0， ∴4x2－4x＋1≤0 ??1? ?的解集为x?x＝2???? . (3)由(5－x)(x＋1)≥0， 得(x－5)(x＋1)≤0， ∴－1≤x≤5， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}. “三个二次”间对应关系的应用 已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，不等式f(x)>0的解集为{x|－3 (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围． [思路探究] (1)根据题意确定方程f(x)＝0的根?利用根与系数关系列方程组求a，b得到函数解析式． (2)将不等式的解集问题转化为对应函数的图象问题?列不等式求出c的取值范围． [解] (1)因为f(x)>0的解集为{x|－3 b－8 ?－3＋2＝－?a，所以?－a－ab －3×2＝，??a?a＝－3，解得? ?b＝5， 所以f(x)＝－3x2－3x＋18. (2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－ 所以当c≤－ 25 时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R. 12 25. 12 [规律方法] 1．三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． 2．讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口方向易写错不等式的解集形式． [跟踪训练] 2．若不等式的解集． [解] 由 ax2＋bx＋c≥0 ???1 的解集为?x?－3≤x≤2 ??? ax2＋bx＋c≥0 ???1 的解集是?x?－3≤x≤2 ??? ?? ?，求不等式?? cx2＋bx＋a<0 ???知?? a<0， c?1? 又?－3?×2＝a<0，则c>0. ?? 1 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， 3b5∴－a＝， 3b5∴a＝－. 3c2又a＝－， 3 52 ∴b＝－a，c＝－a， 33 ?2??5? ∴不等式cx2＋bx＋a<0变为?－3a?x2＋?－3a?x＋a<0， ????即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0， ∴2x2＋5x－3<0， ???1 ?－3 ?? ?. ?? 分式不等式的解法 [探究问题]
高二数学新教材苏教版必修5学案：第3章 3.2 第1课时 一元二次不等式的解法
