频数 机器 甲 乙
490 495 500 505 510 515
2 1
2 3
4 5
7 7
4 3
1 1
[分析数据]根据以上数据,得到以下统计量. 统计量 机器 甲 乙
499.7 499.7
501.5 a
42.01 31.81
b 10%
平均数
中位数
方差
不合格率
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的a= 501 ,b= 15% ;
(2)综合上表中的统计量,判断工厂应迭购哪一台分装机,并说明理由.
【解答】解:(1)将乙的成绩从小到大排列后,处在中间位置的两个数都是501,因此中位数是501, b=3?20=15%, 故答案为:501,15%;
(2)选择乙机器,理由:乙的不合格率较小,
18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一.
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°,然后沿MP方向前进16m到达点N处,测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,√2≈1.41);
(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m.请计算本次测量结果的误差,并提出一
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条减小误差的合理化建议.
【解答】解:(1)过A作AD⊥PM于D,延长BC交AD于E, 则四边形BMNC,四边形BMDE是矩形, ∴BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m, ∵∠AED=90°,∠ACE=45°, ∴△ACE是等腰直角三角形, ∴CE=AE, 设AE=CE=x, ∴BE=16+x, ∵∠ABE=22°,
∴tan22°=????=16+??=0.40, ∴x≈10.7(m),
∴AD=10.7+1.6=12.3(m),
答:观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m; (2)∵“景点简介”显示,观星台的高度为12.6m, ∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3=0.3m,
减小误差的合理化建议为:为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.
????
??
19.(9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下. 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠.
设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x.其函数图象如图所示. (1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义; (2)求打折前的每次健身费用和k2的值;
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?
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说明理由.
【解答】解:(1)∵y1=k1x+b过点(0,30),(10,180), ??=30??=15∴{,解得{1, 10??1+??=180??=30
k1=15表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元, b=30表示的实际意义是:购买一张学生暑期专享卡的费用为30元;
(2)由题意可得,打折前的每次健身费用为15÷0.6=25(元), 则k2=25×0.8=20;
(3)选择方案一所需费用更少.理由如下: 由题意可知,y1=15x+30,y2=20x. 当健身8次时,
选择方案一所需费用:y1=15×8+30=150(元), 选择方案二所需费用:y2=20×8=160(元), ∵150<160,
∴选择方案一所需费用更少.
20.(9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长.
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使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B, AB=OB,EN切半圆O于F .
求证: EB,EO就把∠MEN三等分 .
【解答】解:已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,AB=OB,EN切半圆O于F.
求证:EB,EO就把∠MEN三等分, 证明:∵EB⊥AC, ∴∠ABE=∠OBE=90°, ∵AB=OB,BE=BE, ∴△ABE≌△OBE(SAS), ∴∠1=∠2, ∵BE⊥OB, ∴BE是⊙E的切线, ∵EN切半圆O于F, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠2=∠3,
∴EB,EO就把∠MEN三等分.
故答案为:AB=OB,EN切半圆O于F;EB,EO就把∠MEN三等分.
21.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且
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OA=OB,点G为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点G的坐标;
(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围.
【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B, ∴点B(0,c), ∵OA=OB=c, ∴点A(c,0), ∴0=﹣c2+2c+c, ∴c=3或0(舍去),
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3, ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴顶点G为(1,4);
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴对称轴为直线x=1,
∵点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,
∴点M的横坐标为﹣2或4,点N的横坐标为6,
∴点M坐标为(﹣2,﹣5)或(4,﹣5),点N坐标(6,﹣21), ∵点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点, ∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5.
22.(10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:
?上一动点,如图,点D是????线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CF∥BD,
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2024年河南省中考数学试题、试卷(解析版)



