频数 机器 甲 乙
490 495 500 505 510 515
2 1
2 3
4 5
7 7
4 3
1 1
[分析数据]根据以上数据，得到以下统计量． 统计量 机器 甲 乙
499.7 499.7
501.5 a
42.01 31.81
b 10%
平均数
中位数
方差
不合格率
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 501 ，b＝ 15% ；
（2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由．
【解答】解：（1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是501，因此中位数是501， b＝3?20＝15%， 故答案为：501，15%；
（2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，
18．（9分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m． （1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一
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条减小误差的合理化建议．
【解答】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E， 则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形， ∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m， ∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE＝AE， 设AE＝CE＝x， ∴BE＝16+x， ∵∠ABE＝22°，
∴tan22°=????=16+??=0.40， ∴x≈10.7（m），
∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m； （2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m， ∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3m，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
????
??
19．（9分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示． （1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和k2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？
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说明理由．
【解答】解：（1）∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180）， ??=30??=15∴{，解得{1， 10??1+??=180??=30
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则k2＝25×0.8＝20；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x． 当健身8次时，
选择方案一所需费用：y1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160（元）， ∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
20．（9分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
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使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， AB＝OB，EN切半圆O于F ．
求证： EB，EO就把∠MEN三等分 ．
【解答】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．
求证：EB，EO就把∠MEN三等分， 证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°， ∵AB＝OB，BE＝BE， ∴△ABE≌△OBE（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵BE⊥OB， ∴BE是⊙E的切线， ∵EN切半圆O于F， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3，
∴EB，EO就把∠MEN三等分．
故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且
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OA＝OB，点G为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B， ∴点B（0，c）， ∵OA＝OB＝c， ∴点A（c，0）， ∴0＝﹣c2+2c+c， ∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点G为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21）， ∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点， ∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．
22．（10分）小亮在学习中遇到这样一个问题：
?上一动点，如图，点D是????线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，
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2024年河南省中考数学试题、试卷（解析版）
