3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平\\作直线b交l1,l2,l3于点A',B',C'，
A'B'AB2??. B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
ABDEABDE如图3.1-2，l1//l2//l3，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题=?BCEFACDF的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 图3.1-1 不难发现
例1 如图3.1-2， l1//l2//l3， 且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF. 解 Ql1//l2//l3,\\ABDE2==, BCEF328312DE?DF?,EF?DF?.
2?352?35
图3.1-2
例2 在ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC，
求证：
ADAEDE. ??ABACBC证明（1） DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,
ADAEDE??. ABACBC证明（2） 如图3.1-3，过A作直线l//BC，
?ADE∽ABC，?l//DE//BC,
?ADAE?. ABAC过E作EF//AB交AB于D，得BDEF， 因而DE?BF.
AEBFDEEF//AB,???.
ACBCBCADAEDE???. ABACBC
３
图3.1-3
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
例3 已知ABC，D在AC上，AD:DC?2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.
解 假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G.
EG//AC,EF?FC，
?EGF?CDF，且EG?DC，\\ \\’
ABBD证：. =ACDC证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，
BABDQAD//CE,\\=.
AEDCQAD平分衆BAC,?BAD?DAC,
由AD//CE知?BAD\\?E?ACE,即AE行E,DAC=?ACE, AC,
图3.1-5
ABBD. =ACDC例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
练习1 \\1．如图3.1-6，l1//l2//l3，下列比例式正确的是（ ） A．C．
ADCEADBC B． ==DFBCBEAFCEADAFBE== D. DFBCDFCE图3.1-6
2．如图3.1-7，DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.
４
图3.1-7
3．如图，在VABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
图3.1-8
4．如图，在VABC中，DBAC的外角平分线AD交BC的延长线于点
ABBD. =D，求证：
ACDC 图3.1-9
5．如图，在VABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于
DFACF.求证：. =EFAB
图3.1-10
3.1．2．相似形
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，求证：?BAC?CDB，?DAC?CBD. 证明 在VOAB与VODC中，
?AOB行DOC,OAB=?ODC,
\\VOAB∽VODC， OAOBOAOD，即. \\==ODOCOBOC又VOAD与VOBC中，?AOD?BOC，
图3.1-11 \\VOAD∽VOBC，
\\?DAC?CBD.
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，DBAC为直角，
AD^BC于D.
求证：（1）AB2=BD?BC，AC2=CD?CB； （2）AD=BD?CD
５
2图3.1-12
证明 （1）在RtVBAC与RtVBDA中，?B?B，
BABC=,即AB2=BD?BC. \\VBAC∽VBDA，\\BDBA同理可证得AC2=CD?CB. （2）在RtVABD与RtVCAD中，?C90o-?CAD?BAD，
\\RtVABD∽RtVCAD，\\ADDC=,即AD2=BD?DC. BDAD我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在VABC中，AD^BC于D,DE^AB于E,DF^AC于F，求证：AE?AB证明 QAD^BC，
\\VADB为直角三角形，又DE^AB，
由射影定理，知AD2=AE?AB. 同理可得AD2=AF?AC.
AF?AC.
\\AE?ABAF?AC. 图3.1-13
例8 如图3.1-14，在VABC中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
图3.1-14
（1） 当
AE11AO22====时，有.（如图3.1-14a） AC21+1AD32+1AE11AO22====时，有.（如图3.1-14b） AC31+2AD42+2AE11AO22====时，有.（如图3.1-14c） AC41+3AD52+3AE1AO=时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结AC1+nAD（2） 当
（3） 当
在图3.1-14d中，当
论，并给出证明（其中n为正整数）. 解：依题意可以猜想：当
AE1AO2==时，有成立. AC1+nAD2+n６
证明 过点D作DF//BE交AC于点F， QD是BC的中点，\\F是EC的中点， 由
AE1AE2AE2AE1==,=.. 可知=，\\AC1+nEFnAF2+nECnAOAE2==. ADAF2+n\\AO1AE=，则=? ADnAC本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.
练习2
1．如图3.1-15，D是VABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已想一想，图3.1-14d中，若
知AD：DB=2：3，则SVADE:S四边形BCDE等于（ ）
图3.1-15 A．2:3 B．4:9 C．4:5 D．4:21
2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：VABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的VA'B'C'的最大边长是15，求A'B'C'的面积SVA'B'C'.
4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？
5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，VPCD是等边三角形， （1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，VACP∽VPDB？ （2） 当VACP∽VPDB时，求DAPB的度数.
习题3.1
７
图3.1-16
图3.1-17
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