2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
2
2
2
2
ax2＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发
2
2
现，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax＋bx＋
2
2
2
2
2
c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax＋bx＋c＝0的两根，所以
2
2
2
2
2
2
bc，x1x2＝， aabc即 ＝－(x1＋x2)， ＝x1x2．
aabc22所以，y＝ax＋bx＋c＝a(x?x?)
aax1＋x2＝?2
= a[x－(x1＋x2)x＋x1x2]
＝a(x－x1) (x－x2)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
2
若抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
１５
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上， 所以，2＝x＋1，∴x＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为y?a(x?2)2?1(a?0)， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴?1?a(3?2)2?1，解得a＝－2． ∴二次函数的解析式为y??2(x?2)2?1，即y＝－2x＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
2
展开，得 y＝ax＋2ax－3a，
2
?12a2?4a2??4a， 顶点的纵坐标为
4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2， ∴|－4a|＝2，即a＝?1． 2所以，二次函数的表达式为y＝
12313x?x?，或y＝－x2?x?． 2222 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴
的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．
22
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)＋2，或y＝a(x＋1)－2， 由于函数图象过点(1，0)，
22
∴0＝a(1＋1)＋2，或0＝a(1＋1)－2．
∴a＝－
11，或a＝． 221122
(x＋1)＋2，或y＝(x＋1)－2． 22所以，所求的二次函数为y＝－ 说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来
解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
2
解：设该二次函数为y＝ax＋bx＋c(a≠0)．
１６
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
??22?a?b?c,? ??8?c,?8?4a?2b?c,? 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
2
所以，所求的二次函数为y＝－2x＋12x－8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
练 习 1．选择题:
2
（1）函数y＝－x＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
12
（2）函数y＝－ (x＋1)＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a
(a≠0) ．
2
（2）二次函数y＝－x+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
2
例1 求把二次函数y＝x－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．
2
解：二次函数y＝2x－4x－3的解析式可变为
2
y＝2(x－1)－1， 其顶点坐标为(1，－1)．
2
（1）把函数y＝2(x－1)－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
2
y＝2(x－3)－2．
１７
（2）把函数y＝2(x－1)－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
2
y＝2(x＋1)＋2．
2
2．对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
2
例2 求把二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于下列直线对称后所y x＝－1 得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1； （2）直线y＝1．
2
解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
222
由于y＝2x－4x＋1＝2(x－1)－1，可知，函数y＝2x－4x＋1图
O 象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，
2A(1,－1) A1(－3,－1) 所以，二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到
22
图象的函数解析式为y＝2(x＋3)－1，即y＝2x＋12x＋17．
2
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直线x图2.2－7 ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
222
由于y＝2x－4x＋1＝2(x－1)－1，可知，函数y＝2x－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次y 2
B(1，3) 函数y＝2x－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－
22
2(x－1)＋3，即y＝－2x＋4x＋1． 二、分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象． 分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为
O A(1,－1) 图2.2－8
y＝1
x x
?80,?160?? y??240,?320???400,
x?(0,20]x?(20,40]x?940,80] x?(60,80]x?(80,100]１８
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．
例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发D 沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式； （2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围． A 图2.2－10
分析：要对点P所在的位置进行分类讨论． 解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，
y＝12AP?BC＝x；
②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，
y＝12PC?AB＝12(4?x)?2＝4－x；
③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，
y＝12PC?AD＝12(x?4)?2＝x－4；
④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时，
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程 x2?2xy?y2?x?y?6?0
是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中x2,2xy,y2叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
??x2?4y2?x?3y?1?0,x?y?1?0; ?2 ???x2?y2?20,??x2?5xy?6y2?0. 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方
程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组
??x2?4y2?4?0,①
?x?2y?2?0.
②
分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一
１９
C
P
B
2018-2019学年初高中数学衔接超好教材word版含答案
