x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得
x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）x3?9?3x2?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6． 解： （1）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或
x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23
＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22] ＝(x?3)(x2?3)．
（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)．
或
2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6
=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式
ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).
x y
图1．2－5
－1 1
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2． 解： （1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，
??? ∴x2?2x?1=??x?(?1?2)??x?(?1?2)?
=(x?1?2)(x?1?2)．
（2）令x2?4xy?4y2=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y， ∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．
练 习
1．选择题：
多项式2x?xy?15y的一个因式为 （ ）
５
22（A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：
233
（1）x＋6x＋8； （2）8a－b；
（3）x－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．
习题1．2
1．分解因式：
（1） a?1； （2）4x?13x?9；
22（3）b?c?2ab?2ac?2bc； （4）3x?5xy?2y?x?9y?4．
222
3422．在实数范围内因式分解：
2（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；
2（3）3x?4xy?y； （4）(x?2x)?7(x?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a?b?c?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x＋x－(a－a)．
2
2
222222221.2分解因式
1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a2?2ab?b2) （3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．
习题1．2
1．（1）?a?1??a2?a?1? （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1? （3）?b?c??b?c?2a? （4）?3y?y?4??x?2y?1?
?5?13??5?13?x?x?2．（1）?； （2）x?2?5x?2?5； ???????2??2???2?7??2?7?x?yx?y? （3）3?； （4）?x?3?(x?1)(x?1?5)(x?1?5)． ??????33????3．等边三角形 4．(x?a?1)(x?a)
????
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
2
６
b2b2?4ac)? (x?． ① 22a4a因为a≠0，所以，4a＞0．于是 2
（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
2
?b?b2?4ac x1，2＝；
2a（2）当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－
22
b； 2a（3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?b2)一定大于或等于零，因2a此，原方程没有实数根．
222
由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b－4ac来判定，我们把b－4ac2
叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
2
综上所述，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b2?4ac x1，2＝；
2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－
b； 2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；
22
（3） x－ax＋(a－1)＝0； （4）x－2x＋a＝0．
2
解：（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
22
（2）该方程的根的判别式Δ＝a－4×1×(－1)＝a＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
a?a2?4a?a2?4， x2?． x1?22（3）由于该方程的根的判别式为 222
Δ＝a－4×1×(a－1)＝a－4a＋4＝(a－2)，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
2
Δ＝2－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
x1?1?1?a， x2?1?1?a；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
７
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?2
2
bc，x1·x2＝．这一关系也被称为aa韦达定理．
2
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
222
所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)程x＋px＋q＝0的两根，出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
2
∴5×2＋k×2－6＝0， ∴k＝－7．
所以，方程就为5x－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－
2
3． 5所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
2
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m＋4．
22
∵x1＋x2－x1·x2＝21，
2
∴(x1＋x2)－3 x1·x2＝21，
22
即 [－2(m－2)]－3(m＋4)＝21，
2
化简，得 m－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．
2
当m＝－1时，方程为x＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
22
当m＝17时，方程为x＋30x＋293＝0，Δ＝30－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y， 则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x， 代入②，得
x(4－x)＝－12， 2
即 x－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6．
８
?x1??2,?x2?6, ∴? 或?
y?6,y??2.?1?2因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
2
x－4x－12＝0 的两个根．
解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
2
例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值；
（2）求
3
11?的值； x12x223
（3）x1＋x2．
2
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根，
∴
x1?x2??21212252，
x1x2??32）
x?x211??x12x22x?x22
3
3
5325(?)2?2?(?)?3(x1?x2)?2x1x237224． ????329(x1x2)29(?)242
2
2
（3）x1＋x2＝(x1＋x2)( x1－x1x2＋x2)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2)－3x1x2]
＝(－
5523215)×[(－)－3×(?)]＝－．
8222 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，
为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
2
设x1和x2分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b?b2?4ac，x2?，
2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac2b2?4ac??∴| x1－x2|＝
2a2a2ab2?4ac? ?． ?|a||a|于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝2
?2
（其中Δ＝b－4ac）． |a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
2
例6 若关于x的一元二次方程x－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ①
2
且Δ＝(－1)－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
９
2018-2019学年初高中数学衔接超好教材word版含答案
