《概率论与数理统计》作业
一、填空题
1．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为 .若有一
架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需 ＿＿＿门高射炮.
2．设?在[0，1]上服从均匀分布，则?的概率分布函数F(x)= ＿＿＿,P(?≤2)= ＿＿＿.
3．设母体?~N(30,4)，(?1,?2,?3,?4)为来自?的一个容量为4的样本，则样本均值?~＿＿＿，P(??30)?＿＿＿,(?1,?2,?3,?4)的概率密度为＿＿＿.
4. 将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿.
5． 两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为
_________.
6． 一批产品的废品率为0.2, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次
取到废品的概率为_________.
?ax?b1?x?37．设ξ具有概率密度f(x)??，又P(2???3)?2P(1???2)，则a= ,b= . 0其他?8．设ξ与η相互独立，ξ～N(0,1)，η～N(1,2)，令ζ=ξ＋2η，则Eζ=＿＿＿,Dζ=＿＿＿, ζ的概率密度
函数为＿＿＿.
9．已知A?B，P(A)=0.1,P(B)=0.5,则P(AB)= ＿＿＿,P(A+B)= ＿＿＿,P(AB)? ＿＿＿,P(A|B)= ＿＿＿，
P(A?B)?＿＿＿.
10．设?~N(3,4)，则使得P(??c)?P(??c)成立的c?＿＿＿. 11．已知E???1，D??3，则 E[3(??2)]?＿＿＿.
12. 小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要 ． 13. 相关系数的取值范围是 ．
14. 设总体?~N(a,?2)，?已知，(X1,...,Xn)为来自?的一个样本，如检验H0:a?a0（常数），则在H0
22成立条件下，检验统计量服从 分布．
15. 设总体?的概率分布列为P(??1)?p,P(??0)?1?p,(X1,...,Xn)为来自?的一个样本，则
D(X)? ．
?2e?2x,当x?016. 设?的密度函数为f(x)??，则D?? ．
当x?0?0,?4xy,0?x?1,0?y?117. 设(?,?)的密度函数为f(x,y)??， 则?的边沿密f(y)? ．
0,其它?18. A?B,P(A)?0.1,P(B)?0.5,则P(A?B)? ．
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19. 若P(A)?0.6,P(B)?0.5,P(A?B)?0.7，则P(AB)? ． 20. 公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为 ．
???Acosx,0?x?21. f(x)??2为密度函数，则A? ．
?0,其他?22. 两随机变量?与?的方差分别为25及36，相关系数为0.4，则D(???)? . 23. 设?~N(0,1)，?~二、选择题
1．若事件A、B为互逆事件，则P(AB)?（ ）
A. 0 B. 0.5 C. 1 D. ?
2．在四次重复贝努里试验中，事件A至少发生一次的概率为80/81，则A在每次试验中发生的概率p为（ ）
A.
?2(n)，且?与?相互独立，则统计量
?~ ． ?n241225 B. C. D. 1－45 33333．若两个随机变量?和?的相关系数????0，则下列结论正确的是（ ）.
A. D??????D??D? B. D??????D??D? C. D?????D?D? D. ?和?相互独立
4． 设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生一个的事件应表示为（ ）
A. ABC B. A＋B＋C C. ABC D. ABC
5． 每次试验成功的概率为p(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取得r(1?r?n)次成功的概率为（ ）.
rn?rrrr?1rn?rr?1r?1A. Cn C. D. Cnp(1?p)p(1?p)n?r B. Cnp(1?p)(1?p)n?r ?1?1p????Asin(x?y)0?x?,0?y?6． 设（ξ,η）具有概率密度函数f(x,y)??22，
?0其他?则A=( )
A. 0.1 B. 0.5 C. 1 D. 2 7． 设?~N(?,?)，且μ=0，?22?1，令??????，则Dη=( )(α、β为常数)
2A.??? B. ??? C.? ④? 8． 已知ξ的概率密度函数为f(x),则（ ）
A.0≤f(x)≤1 B.P(ξ=x)=f(x) C.
22?????f(x)dx?1 D.P(ξ=x)≤f(x)≤1
9． 若母体ξ的方差为?，则?的无偏估计为（ ）
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A.10．
n?12nS B.S2 C.S2 D.S nn?1设A，B为两事件，A?B，则不能推出结论（ ）
A. P(AB)?P(A) B. P(A?B)?P(B) C.P(AB)?P(A)?P(B) D. P(AB)?P(B)?P(A) 11. 若事件A、B互不相容，则P(AB)?
A．0.5 B．0 C．1 D．0.25 12. 设事件A、B相互独立，已知P(A)?0.25,P(B)?0.5，则P(A?B)? A．0.12 B．0.125 C．0.25 D．0.5
0?x?1?x,?13. 设随机变量?的概率密度函数为f(x)??2?x,1?x?2，则P(??1.5)?
?0,其它?A．0.875 B．
?（2?x)dx C．?（2?x)dx D．?（2?x)xdx
01??1.51.51.514. 设f(x)为连续型随机变量?的概率密度，F(x)为?的分布函数，则下列正确的是 A．F(x)?f(x) B．0?f(x)?1 C．P(??x)?F(x) D．
?????f(x)dx?1
?Ce?(x?y),x?0,y?015. 设(?,?)的概率密度为f(x,y)??，则C =
其它?0, A． 1 B．0.5 C．0.25 D．2
??e??x,x?016. 设随机变量?的概率密度函数为f(x)?? ， 则E??
x?0?0, A．? B．
1? C．? D．
21?2
17. 设A、B、C为三个事件，则A、B、C恰有两个发生的事件应表示为 A.ABC?ABC?ABC B. AB?BC?AC C.ABC?ABC?ABC?ABC D. AB?BC?AC
18. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A．
335154331 B．() C．C8() D．4
88888C8219. 设?~N(a,4),?~N(0,1)记p1?p(??a?4),p2?p(??1),则下列正确的是
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A．p1?p2 B．p1?p2 C．p1?p2 D．p1?p2
?Ax2,0?x?120. 设?的概率密度为f(x)?? ， 则A =
其它?0, A．
11 B．3 C． D．2 3221. 已知连续型随机变量?的概率密度为f(x)，F(x)为?的分布函数，则下列正确的是 A．P(??x)?f(x) B．
?????xf(x)dx?1
C．0?F(x)?1 D．P(??x)?f(x)
22. 设随机变量?的概率密度函数为f(x)，如果（ ），恒有0?f(x)?1．
A．?~N(1,?2) B．?~N(2,1) C．?~N(a,?2) D．?~N(0,?2) 三、计算题
1．如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中
有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.
1n2． 如果?1,?2,?,?n是n个相互独立、同分布的随机变量，D?i?8(i?1,2,?,n).对于????i，E?i??，
ni?1写出?所满足的切贝晓夫不等式，并估计P(|???|?4).
3．在密度函数f(x)????1?x?,0?x?1中求参数? 的矩估计和极大似然估计. 4． 已知随机变量ξ～N(0，1)，求
(1) ??e?的概率密度； (2) ??|?|的概率密度.
5． 全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人
数，求
(1) 3人中至少有1人学过日语的概率； (2) ξ的概率分布列及Eξ.
1x?1???e6． 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为f(x)?????00?x，（θ>0）
x?0试求参数θ的矩估计和极大似然估计.
7．一个盒子中共有10个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求
（1） （2） （3）
?两次都抽到白球的概率； 第二次才抽到白球的概率； 第二次抽到白球的概率.
8．已知ξ～N(0，1)，求
（1）e的概率密度；
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（2）?2的概率密度.
9．设总体X～N(μ,1), (X1,?,Xn)为来自X的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计. 10． 设母体?具有指数分布，密度函数为
??e??xf(x,?)???00?x（??0）， x?0试求参数?的矩估计和极大似然估计.
11. 袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概率
12. 一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为0.3，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为0.4．如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率. 13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率. 14. 某地区高考数学成绩服从正态分布?~N(90,62)，某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少？（?(1)?0.8413)。若该考生个人估分成绩为90分，问比他成绩低的考生占多少？
0?x?1?x, ?2?x,1?x?2，求P(??1.3). 15. ?的密度函数为 f(x)??? 其它?0, 16. 将一部五卷文集任意排列到书架上，问卷号从左向右或从右向左恰好为1、2、3、4、5的顺序的概率等于多少？
17. 有朋自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车迟到的概率分别是、、，而乘飞机来则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率为多少？
1114312?Ae?x,x?018. 已知 f(x)??为密度函数，求A的值.
x?0?0,19. 已知某地区5000名学生的数学统考成绩?~N(65,15)的正态分布，求50分至80分之间的学生人数.（?(1)?0.8413)
2?1?,x?[1,6]220. 已知随机变量?的密度函数为f(x)??5，求方程x??x?1?0有实根的概率.
??0,其它四、证明题
1．设总体X～N(0，1)，样本(X1,X2,?,X5)来自总体X，若使统计量
c(X1?X2)X?X?X232425服从t分布，试证：
3 2??2．随机变量?是另一个随机变量?的函数，并且??e（??0），若E?存在，求证对于任何实数a都有
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P{??a}?e??a?Ee??.
3．设{?n}的分布列为：P(?k??2k)?2?(2k?1)，P(?k?0)?1?2?2k，P(?k?2k)?2?(2k?1)，试证：若{?n}为相互独立的随机变量序列，则{?n}服从大数定律.
n?1124．设总体X~N(?,?)，样本(X1,X2,?,Xn)来自总体X，试证：S?是?2的??X?X?i?1i2(n?1)i?122无偏估计.
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200741概率论与数理统计作业（高起本、专升本）
