2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A版必修2
一、选择题
1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则( ) A．m∥β B．m?β C．m⊥β [答案] C
2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则( )
A．a?α C．a⊥α [答案] D
3．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形 [答案] B
4．如下图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，
B．直角三角形 D．不能确定 B．a∥α D．a?α或a∥α
D．m与β相交但不一定垂直
A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
A．一条线段 C．一个圆 [答案] D
[解析] ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴
B．一条直线
D．一个圆，但要去掉两个点
AC⊥平面PBC．
又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°. ∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
ππ5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.
46过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于( )
A．
B．
C． D．
[答案] A
π
[解析] 由已知条件可知∠BAB′＝，
4π
∠ABA′＝，设AB＝2a，
6
ππ
则BB′＝2asin＝2a，A′B＝2acos＝3a，
46∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝
6．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 C．直线AC上 [答案] A
[解析] ∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1， 又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，
∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A． 二、填空题
7．平面α⊥平面β，直线l?α，直线m?β，则直线l，m的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面
8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的________心． [答案] 垂
[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△
B．直线BC上 D．△ABC内部
ABC高线的交点，即垂心．
三、解答题
9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．
[证明]
?平面ABC⊥平面BCD?
??CD⊥平面ABC?CD⊥BC?
AB?平面ABC??
?? ??
CD⊥AB??
??AB⊥平面ACD?AB⊥AC?
AB?平面ABD??
??平面ABD⊥平面ACD． ??
10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD．
[解析] (1)∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD， 且平面ABCD∩平面PBO＝BO， ∴BO∥CD．
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形． 则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD．
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB． 又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．
能力提升
一、选择题
高中数学 必修二 2.3.4平面与平面垂直的性质练习
