2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
1．已知a为正实数，且f(x)?11 是奇函数，则f(x)的值域为________. ?xaa?12018n?12．设数列an满足a1?1 ，an?1?5an?1 (n=1，2，…），则
???an?________.
3．已知?,???________.
??12??4?3????,??，cos??????，sin?????，则cos?????4?134?5?4???4．在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有________个既约分数.
?z??1?5．已知虚数z满足z3?1?0，则??????________.
?z?1??z?1?uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv6．设AB?10.若平面上点P满足，对于任意t?R,有AP?tAB?3，则PA?PB的
最小值为________，此时PA?PB?________.
7．在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________. 8．设f(x)?x?1?x?x?2，则f20182018uuuvuuuv?f(x)??1?0有________个不同的解.
9．设x，y?R满足x?6y?4x?y?12?0，则x的取值范围为________. 10．四面体P-ABC，PA?BC?外接球的半径为________.
6,PB?AC?8，PC?AB?10,则该四面体
x211．已知动直线l与圆O：x?y?1相切，与椭圆?y2?1相交于不同的两点A，
922B.求原点到AB的中垂线的最大距离.
x?ax?b?1，求a的取值范围. 12．设a?R，且对任意实数b均有maxx?[0,1]13．设实数x1，x2，…，x2018满足x2n?12?xnxn?2(n=1，2，…，2016)和?xn?1，证明：
n?12018x1009x1010?1.
14．将2n(n?2)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：
1?i?n1?j?n?ai?bj?1?i?j?n??aj?ai?bj?bi?n。
?试卷第1页，总2页
15．如图所示将同心圆环均匀分成n(n?3)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
试卷第2页，总2页
参考答案
1．??，? 【解析】
由f?x?为奇函数可知
?11??22?111111?x????x，解得a= 2，即f?x???x， aa?1aa?122?1?11?fx由此得??的值域为??，?.
?22?5201980772． ?1616【解析】
11?5n1??， 由an?1?5an?1?an?1??5?an???an?44?44?112201852018201852019807720185?5???5??5?1???. 所以?an?441641616n?12018????3．?56 65【解析】 【详解】由?,?????543?3???,??，cos??????， cos??????，得sin???????，
4?1355?4????????56???cos???cos???cos???sin???sin????. ??????所以????4?4?4?65???故答案为：?4．36 【解析】
在7，11，13中任取一个整数与在2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数，共有
112C3C5?30 种；
2在7，11，13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3?6中.
56 65合计有36种不同的既约分数. 5．?1
答案第1页，总6页
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【解析】
z3?1?0??z?1?z2?z?1?0?z2?z?1?0，
?z?所以???z?1?2018???1?????z?1?2018?z20182?12018?z?z????z?z336722?1z1345z2?1???1.
?z6．?16 6 【解析】
uuuvuuuv由AP?tAB?3可知点P到直线AB的距离为3.
设AB的中点为O.由极化恒等式得：
uuuvuuuv1uuuvuuuv2uuuvuuuvPA?PB?PA?PB?PA?PB4uuuvuuuv此时PA?PB?6.
???????1??2PO?422?102??1?36?100???16. 47．
32 4949, 4【解析】
由AB?AC?7?AB?AC?又
1327,AB?AC?时取等号. AB?ACsin?A?4?sin?A?24928．3 【解析】
??x?3，x??1?x?1，?1?x?0? 因为f?x??x?1?x?x?2??3x?1，0?x?2???x?3，x?2由f?f?x???1?0得到f?x??2，或f?x??0.
1，共3个解. 3由f?x???2，得一个解x??1；由f?x??0得两个解x??3，x?9．14?213?x?14?213 【解析】
由x?6y?4x?y?12?0?令x?y?2?cos?，
答案第2页，总6页
?x?y?2???2y?3?2?1.
2??22y?3?sin??x??2?cos????3?sin???14?52sin??????sin???，
13??所以14?213?x?14?213. 10．3 【解析】
将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
?a2?b2?10?22222则?b?c?8?a?b?c?12，所以四面体外接球的半径为3. ?a2?c2?6?411．
3【解析】
依題意可设l：y?kx?m?k?0?.
因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1，即m1?k2?1
这样的直线必与椭圆交于不同的两点A?x1，y1?，B?x2，y2?，联立?得1?9k?2y?kx?m，2?x?9y?9?0 ，
?2?x2?18kmx?9m2?9?0,得到x1?x2??m??9km，22?
?1?9k1?9k???18km.
1?9k2所以AB的中点坐标为??AB的中垂线方程为y?m1?9km?8km??x?x?ky??0， ，化简得??21?9k2k?1?9k2?1?9kO到直线中垂线的距离
d?8km1?9k2. 1?k2将m1?k2=1代入
d?28km1?9k2得d?1?k28k1?k2，
由均值不等式，1?9k?6k，故d?41，当且仅当k?时取等号. 33答案第3页，总6页
2018高中数学竞赛试题
