旗开得胜 第24届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
一、参考解答：
如果小球的水平速度比较大，它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，这时u0的值便是满足题中条件的最大值；如果小球的水平速度u0较小，在它与平板发生第一次碰撞后再次接近平板时，刚好从平板的边缘Q处越过而不与平板接触，这时
P Q B u0 h u0的值便是满足题中条件的最小值．
设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为t1，有
h?若碰撞正好发生在Q处，则有
12gt1 （1） 2L?u0t1
（2）
从（1）、（2）两式解得的u0值便是满足题中条件的最大值，即
代入有关数据得
u0max?Lg 2h（3）
u0max?0.71m/s
（4）
如果u0?u0max，小球与平板的碰撞处将不在Q点．设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为v1，则有
v1?2gh （5）
?、V1?分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球以v1和平板在竖直方向的动量守恒．设小球和平板的质量都是m，则有
??mV1? mv1=mv1（6）
因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得
1
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旗开得胜
解（6）、（7）两式，得
12111122?2?mV1?2?mu0 mv1?mu0=mv122222（7）
??0 v1V1?=v1?2gh
（8） （9）
碰撞后，平板从其平衡位置以V1?为初速度开始作简谐振动．取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为t?0，则平板在t时刻离开平衡位置的位移 式中
xPQ?Acos??t???
（10）
??2π T
（11）
A和?是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t时刻平板振动的速度
vPQ??A?sin??t???
（12）
因t?0时，xPQ?0．vPQ?V?，由（9）、（11）、（12）式可求得
把（13）、（14）式代入（10）式，得
A?2ghT 2?（13）
???
π2（14）
xPQ?2ghπ??2πTcos?t?? 2π2??T（15）
碰撞后，小球开始作平抛运动．如果第一次碰撞后，小球再经过时间t2与平板发生第二次碰撞且发生在Q处，则在发生第二次碰撞时，小球的x座标为
平板的x座标为
xB?t2??12gt2 2（16）
xPQ?t2??2ghπ??2πTcos?t2?? 2π2??T（17）
1
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旗开得胜 在碰撞时，有
xB?t2??xPQ?t2?
由（16）、（17）、（18）式，代入有关数据得
4.90t24.41cos?π?2???πt2?2??
这便是t2满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）
t2?0.771s
如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，则有
L?u0?t1?t2?
由（1）、（20）和（21）式得
uL0?t?t?0.46m/s 12而满足题中要求的u0的最小值应大于（22）式给出的值．综合以上讨论，u0的取值范围是
0.46m/s?u0?0.71m/s
附：（19）式的数值求解
用数值解法则要代入t2不同数值，逐步逼近所求值，列表如下：
t2
0.730 0.750 0.760 0.765 0.770 0.771 0.772 0.775 0.780 x?π?PQ?4.41cos??πt2?2??
3.31
3.12
3.02
2.96
2.91
2.91
2.90
2.86
2.81
x2B?4.90t2 2.61 2.76 2.83 2.87 2.91 2.91 2.91 2.94 2.98 xPQ?xB
0.70
0.36
0.19
0.09
0
0
-0.01
-0.08
-0.17
二、参考解答：
解法一
因为B点绕A轴作圆周运动，其速度的大小为
vB??l
B点的向心加速度的大小为
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（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
（23）
0.790 0.810 2.70
2.48
3.06 3.21 -0.36
-0.73
（1）
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