x o v x v x o
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函数的连续性。
具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算出现错误。 例1
(1)
求下列极限 10(1 2x)5 (3x 1)lim
x
⑵lim丄」
x 0
(3x 1)15
2
sin 2x
(3) lim x x 4 ~2
x
解（1）当x
5x x 12
时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则，由教材中 可直接得到公式（2.2.4）
结果，即
lim
(3x 1)10(1 2x)5
310( 2)5 25
x
(3x 1)15
15
315
15
⑵ 当x
0时分式的分子、分母的极限都为
0,且分子中含有无理根式。
将根式有理化，即有
lim 1 x 1lim( 1 x 1)( . 1 x 1)
x 0
x 0
sin2x
sin2x(、1 x 1)
lim x
sin 2x( . 1 x 1)
__ °-lim 2x
___ 1lim 王 lim
1
2x 0sin2x(
、1 x 1)
2 x 0 sin 2x x 0 . 1 x 1
（3）当x 4时分式的分子、分母的极限都为 0，且分式的分子、分母均为式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则。
x2 5x 4 lim 厂 x 4 x2 x 12 x
lim区卫
（4）先进行恒等变形, 在利用第 2个重要极限。即4) x 4(x 3
)
1 1 （1卜 ljm (—)xx_ x
x 1 x lim(- lim 卜 1 x
x (x
对照练习1、 1
求下列极限 (x 1)2(2x 1)8 (1) lim (2) 01 1 3 x 2x
x (3x 1)10
3 2x
x (4) lim(1 -) x
x
五、问题解答：x x
3
6x
对照练习1、答案 ⑴、
（3
2）8 -⑵、
9
第二部分
导数及导数应用
7⑶、
3
4
⑷、
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遇到此情形需先
x的二次多项
一、试着回答下列问题：
问题1导数与导函数的关系及区别？
问题2:可导、连续、极限存在三者之间的关系如何？
问题3:函数的极值点、驻点和不可导点的关系如何？
问题4:导数有哪些方面的应用？学习中应注意些什么?
答：问题1:⑴、导数与导函数是两个不同的概念，导数是函数在某一点附近的性质，实质 就是函数对自变量在某点的变化速度；
个常量，导函数仍是一个函数，
而导函数反映函数的一般规律。⑵、导数定义的是一
导数是导函数f' (x)在某点xo处的导函数值f '(X。)。因此可
先求出函数的导数，再求某点的导数值。
问题2： y=f(x)在xo处有：
可导T连续T
lim f (x)存在
x xo
J
f(x)在点xo必有定义
但反方向的箭头结论不一定成立。
问题3:驻点及一阶导数不存在的点 xo即不可导点(但是连续点)是极值点的可疑点，但它 们不一定是极值点；可导函数的极值点必是驻点。
问题4:导数应用非常广泛，而需要我们掌握的有：⑴、利用一阶导数的几何意义求曲线在 某点的切线方程；⑵、判别函数的单调性、求函数的极值；⑶、边际分析、求解经济应用问 题的最值：成本最低、利润最大等等；⑷、求需求弹性。
求解经济应用题的极值，关键是利用所掌握的有关知识列出目标函数，
元的，若有两个自变量，必须将其中之一转化。求解时所用方法仍是求函数极值的方法。
注意函数必须是
、主要内容归纳: (一)、导数的概念：
1
①、
导数的定义：
点导数:
f (x)
lim
..
x
f(X。)
lim x lim
x o
x o
y ■■寸
lim亠
f(x X) f(x) x
x) f (xo) x x
f (xo
②、
导函数：
13 / 13
两者的关系：
f (x) x
x x
f (xo)，即点导数f(Xo)是导函数f (x)在点Xo的函数值。
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点导数f(X。)，导函数f(X)均简称为导数。
③、左、右导数:
左导数：
f (X0 )
lim x 0 lim x 0
y X y
lim x 0 lim x 0
f(x
0 0
X) X
%
f(x
X) f(X0) X
X
存在且相等。
右导数：
f
(x)
0
X
关系：
y
f(X)在点
x°可导
lim - 丄与 lim
x 0 X x 0
导数f(X)是函数f (x)在点X处的变化率。
2、
导的几何意义：
f(X。)是曲线y f (x)在点(X0,y。)处切线的斜率
曲线y f (X)过点(xo,y。)的切线方程为：
y y。
f (x°)(x X。)
3、可导与连续的关系：
若函数y
f (x)在点x处可导，则它在点 x处一定连续，反之未必成立。
(二)、求导公式与求导法则
1 、导数基本公式
略。看教材第108及109页。
2、 导数四则运算法则：
略。看教材第108及109页。
3、 复合函数求导法：
设 y f(u),u
(x)可导，则 yx yu Ux
4、隐函数求导法：
方法：对隐函数方程F(x,y)=0，两边对自变量x求导(求导过程中视y为中间变量y=y(x)), 从等式中解出
y'。
5、高阶导数 函数的二阶导数： y (y ) ，即是一阶导数的导数。
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《经济数学基础》教案1
