［教学目标］
理解常量、变量以及函数概念，了解初等函数和分段函数的概念。熟练掌握求函数的定义域、 函数值的方法，掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。了解幕函数、指数函数、对数函 数和三角函数的基本特征和简单性质。了解极限、无穷小（大）量的有关概念，掌握求极限 的常用方法。了解函数连续性概念， 会求函数的间断点。 理解导数概念，会求曲线的切线方
程，熟练掌握导数基本公式和求导数的常用方法， 会求微分。会求二阶导数。
会求简单的隐函数的导数。 知道微分概念，
［重难点］函数概念、导数概念和导数的计算 ［教学内容］
第一编微分学 第1章函数
一、 试着回答下列问题：
问题1 ：在某过程中由两个变量，其中一个量 的函数，此话对吗？
问题2： 一个函数可以由哪些要素唯一确定？
问题3:函数的定义域、对应关系和值域中的任意两个因素，是否可将函数唯一确定呢？ 问题4：如果y是x的函数y=f（x），是否y与x之间的关系只能用一个解析式子表示？
答：问题1:不对。根据函数定义，变量 x变，变量y也变，并没有说明 y是如何随x的变 化而变化，也没有说明每给x 一个值，就有唯一的y值与之对应，因此还不能说y是x的函 数。
问题2：任一函数，都可由其定义域 D和对应关系f这两个要素确定。有的教材讲，确 定函数有三个要素：定义域、对应关系和值域，实际上，只要定义域和对应关系确定了，值 域也就随之确定了。
问题3:不一定。例如 y=sinx与y=cosx，它们的定义域相同，值域也相同，但对应关 系不同，它们不是同一个函数。
问题4：不一定。表示函数的方法有：公式法、图示法和列表法。即使对于公式法，也 不一定必须用一个解析式表示，如分段函数：
x变，另一个量y也变，那么变量 y是变量x
x2 y 9 二、 主要内容归纳： （一）、函数概念
1, 1 2 x 2 2 x2, 2 x2 4 包含了两个式子，但分段函数仍是一个函数。
1、 常量与变量一一在所研究的问题中，
为变量。
保持同一确定数值的量， 称为常量。而能取不同数 值的量，称
注意：常量与变量是相对的，条件改变时，可以相互转化。
2、 函数定义： y=f（x）
其中x叫做自变量，y叫做因变量，x的变域D称为函数的定义域。用图示说明如下：
. 法则f（）賢 —对应 x Y D （y的变化范围） 函数的实质是两个变量（ （二）、初等函数（x的变化范围） x与y）及其对应规则f（） 1 / 13
微积分研究的对象主要是初等函数，但初等函数是由基本初等函数构成的。
1、
基本初等函数
常数函数 y=C (C 是常数)
幕函数 y=x (a为实数)
指数函数 y=a (a>O,a
对数函数
y=log a y=s
(a>O,a 三角函数 inx , y=ta nx ,
y=cosx 复合函数
y=ctgx
2、
y=f(u),u= $ (x)且u=$ (x)的值域是y=f(u)的定义域的子集，则 y是x的复合函数:
y=f[ $ (x)].
其各量的关系图示如下：
则:
y f[ (x)]
3、 初等函数
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。 注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数， 其步骤是自外层向内层逐层分解，
漏层。
4、 常见函数的定义域的基本求法
求一元函数y=f(x)的定义域D,即是求使函数有意义的自变量 x的变化范围。
常见解析式的定义域求法有： (1 )、分母不能为零； (2 )、偶次根号下非负； (3 )、对数式中的真数恒为正；
(4)、分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集。
5、 对应规则f()
从以上分析，对应规则 f()往往表现为各种运算，已知
f()求f(a),只须用a取代x,代入
对应规则运算即成。但应注意分段函数不同区间有不同的对应规则。 (三)、函数的奇、偶性
判断函数y=f(x)的奇、偶性常见有以下方法： (1 )、定义法：即在对称区间上若满足
f(-x)=f(x) ，则y=f(x)为偶函数，若满足 f(-x)=
-f(x)，则y=f(x)为奇函数，否则 y=f(x)为非奇非偶函数。
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切忌
(2)、符合法：记偶为②，记奇为①，则有： ②^②二②，②*②二② ①^①二②，①*①二② ②^①二①，②*①二①
即“同号”相乘除为②，“异号” 相乘除为①。
注意：女口 y ax2, y 3 3!~ x|,y cosx为偶函数； —,y sinx, y tanx 为奇函数。 x y x, y x , y x, y 记住这些常见函数的奇、偶性，用符合法可以判断很多函数的奇、偶性。 (3 )、图象法：
奇函数关于原点对称
图象法即利用奇函数关于原点对称、偶函数关于
(四)、经济中常用的函数
y轴对称来判断函数的奇、偶性。
1需求函数： 2、 供给函数：
qd =q(p), q d ------------- 需求量， p ------ 价格 qs=q(p),
q s ---------------------------- 需求量，p --------- 价格
q ------------- 产量
C(x)=Ci+C2(x),
3、 总成本函数： G为固定成本，
a(x)为变动成本
平均收入函数：R (q) 4、收入函数：R(q)=q.p(q), q 6、
(q平均成本函数：C (q) C(] R(cfl) q 销售量，p ――价格
利润函数：L( q)=R(q) — C(q)
三、重点、难点：
重点：1、函数y=f(x)的两要素；
平均利润函数：
2、函数的奇偶性; 3、基本初等函数; 4、经济中常用的函数。
难点：经济中常用的函数。 四、实例分析： 例1、
求下列函数定义域
L (q)
L(q)
q
1 ____
(1)
、f(x) 4 x2 - 1
⑵、f(x)
I x 1 lg(2 x)
(1 )、分析：应同时要求分母工 0,偶次根号下非负，于是
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解：要使函数有意义，必须使:
?
4x0 x 4 x 2 x 1
定义域D 1,2
2 c 2 ? c
0 x 1 x 1 2,
(2)、分析：要求分母工0且对数真数>0、偶次根号下非负，于是
解：要使函数有意义，必须使:
x 1 2 x 0 0 x 1 x 2 lg(2 x) lg1
x 1 x 2 2 x 1
x x x
1 2 1
lg(2 x) 0
定义域D
1,
1 _____ __ . _____________________
- 2 (2)、f(x)、ln(4 x)
对照练习1、求下列函数定义域:
(D、f(x)9 x2
例2、求分段函数的定义域:
f(x)
寸9 x2 , |x 3
In(x 1),3 x 5
分析：分段函数的定义域应是各段定义域的并集
解：由 lx 3 3 x 3
3,5
D
13,3 3,5
3,5
D
2
定义域 D D1 D2
对照练习2、求分段函数的定义域：
3,3
f(x) 2
ex 1 , x 1 x 8,0x1
例3、 函数f(x)的定义域是［1，2］，求函数f(x+1)的定义域。
分析：已知f(x)的定义域为［1，2］, ???有f(x+1)的定义域要求 K x+1 < 2, 即 0W x< 1,
即f(x+1)的定义域为 D=［0 , 1］
对照练习3、函数f(x)的定义域是［2 , 3］，求函数f(x+1)的定义域。
例 4、
设 g (t) =t3— 6,求 g (t2) , [g (t) ]2
3
分析：函数关系为 g( )=( ) 求该函数的平方。
解：g (t2)= (t 2 ) 3 — 6= t6— 6
— 6, (1 )用t2代t，即求出g (t2); ( 2)求[g (t) ]2即是
[g (t) ]2= ( t 3- 6) 2
___ 2
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对照练习 4、设 f(x)= x +5,求 f(1/x) , f[f(x)]
例5设f (x)
求 f(0)
, f(2)
2
, f(4)
分析：求分段函数的函数值应将自白变量的取值代入所在区间对应的表达式中。 解：f(0)= 0
+1=1
2
f(2) 无意义 (2不在f(x)的定义域内) f(4)=9 — 4 =— 7
对照练习5、在上例中，求f(1) 例6、下列函数对中，()表示相同函数
, f(5)
A、 f(x) (cos x sin x)x, g(x) x B、 (x) x, (t) 、t2 2 2 C、 y In x , y 2ln x _ x2 1 D、 u --------- , y x 1 x 1 . 分析：两个函数相同是当且仅当其定义域和对应规则分别相同。
解:选择A,因为f(x)与g(x)的定义域均为(-g, +8),对应规则也相同(I sin 2x+cos2x=1) 对照练习6、下列函数对中，()表示相同函数
A、f (x) v1 sin2 x, g(x) |cosx| B、 (x) |x, 2 (t) . t2 C、 y lnx , y 2lnx x D、u ——,y x 3 例7、找出下列函数的奇函数
A、y x2 cosx B、y (10 x 10x) 2 C、y
x
D、y xa \(a 0且 a 1)
1
分析：由符号法可知：y xa x为奇函数 解：选择D x为奇函数，a 为偶函数 xa x为奇函数 对照练习7、找出下列函数的偶函数
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《经济数学基础》教案1
