高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题 如果一个多面体的各
个顶点都在同一个球面上， 那么称这个多面 体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接 球的问题， 是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点 . 考查 学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要 运用多面体的知识， 又要运用球的知识， 并且还要特别注意多面体的 有关几何元素与球的半径之间的关系， 而多面体外接球半径的求法在 解题中往往会起到至关重要的作用 .
一、直接法 （公式法 ）
1、求正方体的外接球的有关问题
例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的
表面 积为 ________ .27 .
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 __________ .4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的
三条 棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 .14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体积
D. 32
A. 16 B. 20 C. 24 为 16，则这个球的表面积为（
）. C
3.求多面体的外接球的有关问题
例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知 该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 长为 3，则这个球的体积为
解 设正六棱柱的底面边长为 ，高为 h ，则有
x
8
，底面周
x 1,
x 2,
89 6 43x2h, h3
．
6x 3,
∴正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径 R r2 d2 . 体积： 小结 本题是运用公式 R2
的半径的常用公式 .
二、构造法 （补形法 ）
1、构造正方体
4
1 1
，球心到底面的距离
2
3
.∴外
R3 . 3
d 2求球的半径的，该公式是求
球
例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外 接球的表面积是 _____________ .9 .
例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 且侧棱长均为 3 ，则其外 接球的表面积是 .
故其外接球的表面积 S 4 R2 9 .
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为
a、b、c
，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方
体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R ，
则有
2R a2 b2 c2 .
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，则
体对角线长为 l a2 b2 c2 ，几何体的外接球直径为 2R 体对角线长 l 即 R
a2 b2 c2
2
练习：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分 别为1, 6,3 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面 积。球的表面积为 S 4 R2 16
例 6 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点 在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 A. （ 如图 2）
例 7在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2 ， DAB=60 0，E为AB 的中 点，将 ADE与 BEC分布沿ED 、 EC向上折起，使 A、B重合于点 P，
则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
43
66
6
A. 27 B. 2 C. 8 D. 24
CBE= DEA=60 0 ，
解析：（如图 3）所以
因为 AE=EB=DC=1 ， DAB=
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
