2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
?１．设cosx?1=xsin?(x),?(x)?，当x→0时，?(x) （ ）
2（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价无穷小 （D）与x等价无穷小
2．已知y=f(x)是由方程cos(xy)?lny+x=1确定，则limn??f???1??=（ ）
n→???2???n???（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
x?sinx,x?[0,?)３．设f(x)=?，F(x)=?f(t)dt则（ ）
02,x?[?,2?]?（Ａ）x=?为F(x)的跳跃间断点． （Ｂ）x=?为F(x)的可去间断点． （Ｃ）F(x)在x=?连续但不可导． （Ｄ）F(x)在x=?可导．
1?,1?x?e??1?+??(x?1)４．设函数f(x)=?，且反常积分?f(x)dx收敛，则（ ）
1?,x?e?+1??xlnx（A）???2 （B）a?2 （C）?2?a?0 （D）0???2 ５．设函数z=yx?z?zf(xy)，其中f可微，则+=（ ） xy?x?y22f(xy) （D）?f(xy) xx226．设Dk是圆域D=(x,y)|x+y?1的第k象限的部分，记Ik=??(y?x)dxdy，则
（A）2yf'(xy) （B）?2yf'(xy)（C）
??Dk（ ）
（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
?1a1??200?????8．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是
?1a1??000?????（A）a=0,b=2 （B）a=0，b为任意常数 （C）a=2,b=0 （D）a=2，b为任意常数
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． lim?2??x→0?ln(1+x)??= ． x?1x10．设函数f(x)=?x?11?etdt，则y=f(x)的反函数x=f?1(y)在y=0处的导数
dx|y=0= ． dy11．设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3???图形的面积为 ．
????????t为参数，则L所围成的平面
6??6??x=arctant12．曲线上?对应于t=1处的法线方程为 ．
2??y=ln1+t13．已知y1=e3x?xe2x,y2=ex?xe2x,y3=?xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足
y(0)=0,y'(0)=1方程的解为 ．
14．设A=aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足
()Aij+aij=0(i,j=1,2,3)，则A= ． 三、解答题
15．（本题满分10分）
当x→0时，1?cosxcos2xcos3x与ax是等价无穷小，求常数a,n． 16．（本题满分10分） 设D是由曲线y=3nx，直线x=a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕
x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx=Vy，求a的值．
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x=3y,y=3x,x+y=8所围成，求
2x??dxdy． D18．（本题满分10分）
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： （1）存在??(0,1)，使得f'(?)=1；
（2）存在??(?1,1)，使得f??(?)+f?(?)=1． 19．（本题满分10分）
求曲线x?xy+y=1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11） 设函数f(x)=lnx+331 x⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn+21．（本题满分11） 设曲线L的方程为（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线x=1,x=e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分）
1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．
n→?xn+1y=121x?lnx(1?x?e)． 42?1a??01?设A=??10??,B=??1b??，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA=B，并求出
????所有矩阵C．
23（本题满分11分） 设
二
次
型
f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2．记
?a1??b1??????=?a2?,?=?b2?．
?a??b??3??3?TT（1）证明二次型f对应的矩阵为 2??+??；
22（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1+y2．
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