物理·必修2(人教版)
第七章
机械能守恒定律
章 末 总 结
机械能及其守恒定律
专题一 功的理解和计算 1．功的正负的判断方法
(1)利用公式W＝Flcos α计算确定，此法常用于恒力做功情况．
(2)利用力F与运动速度v的方向夹角α来判断：0≤α<90°时力F做正功，α＝90°时F不做功，90°<α≤180°时F做负功．
(3)利用功能关系来判断，利用重力的功与重力势能变化，弹力的功与弹性势能变化、合力的功与动能变化，除重力以外的其他力的功与机械能变化等各关系根据能量的变化来确定功的正负．
2．功的正负的理解
(1)功为标量，其正负不表示方向，也不表示大小．
(2)某个力做正功，表明这个力为动力，力做负功表示此力为阻力． 3．功的求法
(1)利用定义式来求．
若恒力做功，可用定义式W＝Flcos α求恒力的功，其中F、l为力的大小和位移的大小，α为力F与位移l方向上的夹角，且0≤α≤180°
(2)利用功率求功．
若某力做功或发动机的功率P一定，则在时间t内做的功可用W＝Pt来求． (3)利用功能关系来求．
常见的功能关系为重力做功与重力势能变化的关系，弹力做功与弹性势能变化的关系，合力做的功与物体动能变化关系，除重力和系统内弹力外其他力的功与机械能的关系．根据以上功能关系，若能求出某种能量的变化，就可以求出相应功的数值．
如图
所示，质量m＝1.0 kg的物体从半径R＝5 m的圆弧的A端，在拉力F作用下从静止沿圆弧运动到顶点B.圆弧AB在竖直平面内，拉力F的大小为15 N，方向始终与物体的运动方向一致．若物体到达B点时的速度v＝5 m/s，圆弧AB所对应的圆心角θ＝60°，BO边在竖直方向上，取g＝10 m/s.在这一过程中，求：
(1)重力mg做的功； (2)拉力F做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功； (4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．
解析：(1)重力mg做的功： WG＝－mgR(1－cos θ)＝－25 J.
π
(2)因拉力F大小不变，方向始终与物体的运动方向相同，所以WF＝Fs＝F×R≈78.5 J.
3(3)支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0. (4)由动能定理知
2
12
WF＋WG＋Wf＝mv－0，
2
12
得摩擦力Ff做的功WFf＝mv－WF－WG
212
＝×1.0×5 J－78.5 J－(－25)J 2＝－41 J.
答案：(1)－25 J (2)78.5 J (3)0 (4)－41 J
名师归纳：在变力做功的过程中，当有重力势能、弹性势能以及其他形式的能参与转化时，可以考虑用功能关系求解．因为做功的过程就是能量转化的过程，并且转化过程中能量守恒．
专题训练
1．用铁锤将一铁钉钉入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次后，能把铁钉击入木块内1 cm.问击第二次后，能击入多深？(设铁锤每次做功相等)
解析：(图象法)
因为阻力F＝kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F－x图象(如图)．图线与横坐标所围面积的值等于F对铁钉做的功．
由于两次做功相等，故有S1＝S2(面积) 121
即kx1＝k(x2＋x1)(x2－x1) 22所以Δx＝x2－x1＝0.41 cm. 答案：0.41 cm
2．磨杆长为l，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F，如图所示，求杆绕轴转动一周过程中力F所做的功．
解析：磨杆绕轴转动过程中，力的方向不断变化，不能直接用公式W＝Fscos α进行计算．这时，必须把整个圆周分成许多小弧段，使每一小段弧都可以看作是这段弧的切线，即可以看成是这段的位移．这样，由于F
的大小不变，加之与位移的方向相同，因而对于每一小段圆弧均可视为恒力做功．杆绕轴转动一周所做的功的总和为
W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F·Δs1＋F·Δs2＋…＋F·Δsn 因为Δs1＋Δs2＋…＋Δsn＝2πl. 所以W＝F·2πl. 答案：2πFl[:
专题二 含有功率的计算问题
功率有平均功率和瞬时功率，平均功率对应的是一段时间或一个过程，瞬时功率对应的是某一时刻或某一位置．
W
(1)公式：P＝，P为时间t内的平均功率；P＝Fvcos α，若v为平均速度，则P为平均功率，若v为瞬时
t速度，则P为瞬时功率．[:
(2)在机车的功率P＝Fv中，F是指机车的牵引力，而不是车所受的合力．
在分析汽车启动问题时，首先要分清是以恒定功率启动还是以恒定加速度启动，以恒定加速度启动时要分析清楚发动机的功率是否达到额定功率，达到额定功率后，汽车再以恒定功率运动，牵引力随速度的增大而减小，不能再用匀变速直线运动的规律求解，要结合动能定理分析．
质量为2 t的汽车在平直公路上由静止开始运动，若保持牵引力恒定，则在30 s内速度增大到15 m/s.
这时汽车刚好达到额定功率，然后保持额定输出功率不变，又运动15 s达到最大速度20 m/s.求：
(1)汽车的额定功率；
(2)汽车运动过程中受到的阻力； (3)汽车在45 s共前进多少路程．
解析：(1)(2)设汽车的额定功率为P，运动中所受的阻力为Ff，前30 s内的牵引力为F，则前30 s内，加v12
速度a＝＝0.5 m/s，
t1
由牛顿第二定律知F－Ff＝ma，又P＝Fv1， 在45 s末有P＝Ffv2，
由以上各式得P＝60 kW，Ff＝3 000 N.
v1
(3)汽车在前30 s内运动的路程为s1＝t1＝225 m，
2
122
后15 s内的位移s2满足Pt2－Ff s2＝m(v2－v1)，解得s2＝241.7 m，
2总路程s＝s1＋s2＝466.7 m.
答案：(1)60 kW (2)3 000 N (3)466.7 m
名师归纳：解决机车启动问题，首先要弄清是哪种启动方式，然后采用分段处理法．在匀加速阶段，常用牛顿第二定律和运动学公式结合分析；在非匀加速阶段，一般用动能定理求解时间或位移．
专题训练
3．质量为m的汽车行驶在平直公路上，在运动中所受阻力不变，当汽车的加速度为a、速度为v时发动机功率为P1；当功率为P2时，汽车行驶的最大速度为( )
A.C. 答案：B
4．节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力的汽车．有一质量m＝1 000 kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1＝90 km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P＝50 kW.当驾驶员看到前方有80 km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，14
运动L＝72 m后，速度变为v2＝72 km/h.此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发
55动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求：
(1)轿车以90 km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小； (2)轿车从90 km/h减速到72 km/h过程中，获得的电能E电；
(3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72 km/h匀速运动的距离L′.
解析：(1)轿车牵引力与输出功率的关系为P＝F牵v 将P＝50 kW，v1＝90 km/h＝25 m/s代入得 P3
F牵＝＝2×10 N
v1
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有 F阻＝2×10 N.
111212
(2)在减速过程中，注意到发动机只有P用于汽车的牵引．根据动能定理有Pt－F阻L＝mv2－mv1
5522代入数据得Pt＝1.575×10 J
44
电池获得的电能为E电＝0.5×Pt＝6.3×10 J.
5
(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F阻＝2×10 N．在此过程中，由功能关系可知，仅有电能用于克服阻力做功，有E电＝F阻L′
代入数据得L′＝31.5 m.
3
5
3
P2vP2v
B.[: P1P1－mavP1vP1v D. P2P2－mav
答案：(1)2×10 N (2)6.3×10 J (3)31.5 m
专题三 动能定理及其应用 1．对动能定理的理解
(1)W总＝W1＋W2＋W3＋…，是包含重力在内的所有力做功的代数和，若合外力为恒力，也可这样计算：W总＝F
合
34
lcos α.
(2)动能定理是计算物体位移或速率的简捷公式，当题目中涉及位移时可优先考虑动能定理．
(3)做功的过程是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”的意义是一种因果联系的数值上相等的符
号，它并不意味着“功就是动能增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”．
(4)动能定理公式两边每一项都是标量，因此动能定理是一个标量方程． 2．应用动能定理的注意事项
(1)明确研究对象和研究过程，找出始、末状态的速度．
(2)对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，明确各力的做功大小及正、负情况．
(3)有些力在运动过程中不是始终存在，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况，分别对待．
(4)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程，列出动能定理求解．
如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终
落在水平地面上．已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s.求：
2
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s； (2)小物块落地时的动能Ek； (3)小物块的初速度大小v0.
分析：解答本题时应把握以下两点：
(1)小物块飞离桌面后做平抛运动，机械能守恒，根据平抛运动规律和机械能守恒定律求解小物块的水平距离和落地时的动能．[:
(2)小物块在桌面上运动时摩擦力做负功，根据动能定理求解小物块的初速度． 12
解析： (1)小物块飞离桌面后做平抛运动，根据平抛运动规律，有竖直方向：h＝gt
2水平方向：s＝vt 解得水平距离s＝v
2h
＝0.90 m. g
1
(2)小物块从飞离桌面到落地的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律可得小物块落地时的动能为Ek＝
2mv＋mgh＝0.90 J.
1212
(3)小物块在桌面上运动的过程中，根据动能定理，有－μmgl＝mv－mv0
22解得小物块的初速度大小v0＝2μmgl＋v＝4.0 m/s. 答案：(1)0.90 m (2)0.90 J (3)4.0 m/s [:数理化] 专题训练 5．如图
2
2
所示，质量m＝1 kg的木块静止在高h＝1.2 m的平台上，木块与平台间的动摩擦因素μ＝0.2，用水平推力F＝20 N，使木块产生位移l1＝3 m时撤去，木块又滑行l2＝1 m时飞出平台，求木块落地时速度的大小？
解析： 解法一 取木块为研究对象，其运动分三个过程，先匀加速运动l1，后匀减速运动l2，再做平抛运12
动，对每一个过程，分别列动能定理得：Fl1－μmgl1＝mv1
2
mv2mv1
－μmgl2＝－；
22mv3mv2
mgh＝－；
22解得v3＝82 m/s.
mv
解法二 对全过程由动能定理得Fl1－μmg(l1＋l2)＋mgh＝－0；代入数据得v＝82 m/s.
2答案：82 m/s
6．如图
2
2
22
2
所示，质量为m的物块从高为h的斜面上滑下，又在同样材料的水平面上滑行l后静止．已知斜面倾角为θ，物块由斜面到水平面时圆滑过渡，求物块与接触面间的动摩擦因数．
解析：物块在斜面上下滑时，摩擦力做负功，重力做正功．在水平面上滑行时，只有摩擦力做负功，最后
减速至零．全过程动能变化为零．在全过程应用动能定理，有
h
mgh－(μmgcos θ·＋μmgl)＝0
sin θ
h
解得μ＝＝tan α，其中α为物块初、末位置A、B连线为水平面的夹角．
hcot θ＋l答案：
专题四 机械能守恒定律的应用 1．机械能守恒定律的研究对象
机械能守恒定律的研究对象可以针对一个物体，也可以更普遍地针对一个系统，所谓系统，简单地说就是将相互作用的物体组合在一起，在分析时，可根据要求人为“隔离”出某几个相互作用的物体，把它们视为一个研究对象，如图中的三个装置，(甲)、(乙)图中都可以把小车、小球和地球或小球、弹簧和地球分别看成一个系统，(丙)图中可将整个装置(含球、轻杆及轴O)和地球一起作为一个系统来研究．其实在用于一个物体时，已经隐含了地球在内，不再明讲是有利于简化解题过程．
h
hcot θ＋l
2．机械能守恒定律的适用条件
严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和系统内的弹力以外，无其他力(如：摩擦力、介质阻力等)做功(表明系统内不存在机械能与其他形式的能之间的转化)，则系统的机械能守恒．
如图
所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球(小球的大小可以忽略)．
(1)在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α ，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小；
(2)由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力．不计空气阻力．
解析：(1)受力如右图所示，根据平衡条件，拉力大小F＝mgtan α. 12
(2)运动中只有重力做功，系统机械能守恒mgl(1－cos α)＝mv
2则通过最低点时，小球的速度大小 v＝2gl（1－cos α） v
根据牛顿第二定律T′－mg＝m
l解得轻绳对小球的拉力
v
T′＝mg＋m＝mg(3－2cos α)，方向竖直向上．
l答案：(1)受力图见解析 mgtan α (2)mg(3－2cos α) 专题训练
7．如图所示，让摆球从图中的C位置由静
2
2
止开始下摆，正好摆到悬点正下方D处时，线被拉断，紧接着，摆球恰好能沿竖直放置的光滑半圆形轨道内侧做圆周运动．已知摆线长l＝2.0 m，轨道半径R＝2.0 m，摆球质量m＝0.5 kg.不计空气阻力．(g取10 m/s)
(1)求摆球在C点时与竖直方向的夹角θ和摆球落到D点时的速度大小；
(2)若仅在半圆形内侧轨道上E点下方错误!圆弧有摩擦，摆球到达最低点F时的速度为6 m/s，求摩擦力做的功．
vD
解析：(1)在D点刚好不脱离半圆轨道，有：mg＝m得vD＝25 m/s，从C点到D点机械能守恒，有：mgl(1
R12π
－cos θ)＝mvD得θ＝.
23
1212
(2)从D点到最低点，由动能定理得2mgR＋W摩＝mv－mvD得W摩＝－16 J.
22π
答案：(1) 25 m/s (2)－16 J
3
2
2
[金版学案]2018-2019学年高中物理必修二（人教版）：7章 末 总 结
