《2.3.1平面向量基本定理》教案
参赛号：70
一、教材分析
本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标
知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.
过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.
情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
教学重点：平面向量基本定理的探究；
教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.
三、教学过程
1、情景创设
七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！ 在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？
r问题1 给定一个非零向量a，允许做线性运算，你能写出多少个向量？
rra ?a
uruur问题2 给定两个非零向量e1 ,e2，允许做线性运算，写出尽量多的向量？ uruururuururuur 1、e1 //e2 通过线性运算会得到?1e1 ?2e2 ?1e1+?2e2的形式，本质上它
ur们表示的都是e1的数乘。
uruururuur2、e1 ，不共线 通过线性运算会得到?1e1+?2e2，它表示的是什么向量？ e2 e1 e2
uruururuururuururuur不妨我们作出几个向量e1+e2 ，2e1+e2 ， e1-e2 ， e1-2e2 来看看。只要
uruururuur??给定1和2的值，我们就可以作出向量?1e1+?2e2，本质上是e1的数乘和e2的数乘的合成。随着?1和?2取值的变化，可以合成平面内无数多个向量。
uruur问题3 那么我们能否这样认为：平面上的任何一个向量都可以由e1和e2来合成呢？
ururur我们在平面上任取一个向量a，看看它能否由e1和e2来合成，也就是能否找
uruurruruur到这样的e1和e2，使a??1e1+?2e2？
uruur这个问题可简述为：平面上有两个不共线的向量e1和e2，平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示？
ruruur思考探究： 根据探寻的目标a??1e1+?2e2，结合上面向量合成的做法，显ururur然a就应该是合成后的平行四边形的对角线，而平行四边形两边应该是e1和e2所在的直线，因此，只要作出这个平行四边形，问题就迎刃而解了。
e1 e2 a
如图所示，在平面内任取点O，作OA?e1,OB?e2,OC?a. 作平行四边形
?ONCM. 则OC?OM?ON.由向量共线定理可得，存在唯一的实数?1，使
OM??1e1;存在唯一的实数?2，使ON??2e2.即存在唯一的实数对?1，?2，
使得a=?1e1+?2e2.
M C
A
O B N 强调：向量a的任意性、e1、e2不共线、系数?1，?2的存在性与唯一性。 2、定理剖析
讨论探究：同学们能否总结出平面向量基本定理的内容？
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意
向量a，有且只有一对实数?1，?2，使a=?1e1+?2e2
这里我们发现平面内的任意两个不共线向量e1、e2就类似于音乐中的7个音符，类似于英文中的26个字母。
我们把任意两个不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底。 定理说明：
（1）什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底？ 不共线的两个向量
（2）一个平面的基底是唯一的吗？ 不唯一，可以有无数多个
（3）当平面的基底给定时，任意向量a的分解形式唯一的吗？ 由共线向量定理可知：?1，?2唯一确定 3、例题分析
例1 已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2. e1 e2
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