高考数学回归知识必备
*1 集合与常用逻辑用语 概念 关系 集合 运算 集合与常用逻辑用语 一组对象的全体. x?A,x?A。 子集 真子集 相等 交集 并集 补集 概念 命题 常用逻辑用语 四种 命题 充分条件 必要条件 充要条件 或命题 且命题 非命题 全称量词 存在量词 元素特点：互异性、无序性、确定性。 x?A?x?B?A?B。 ??A； x?A?x?B,?x0?B,x0?A?A?B A?B,B?C?A?C n个元素集合子集数2n。 A?B,B?A?A?B AIB??x|x?A,且x?B? CU(AUB)?(CUA)I(CUB) AUB??x|x?A,或x?B? CU(AIB)?(CUA)U(CUB) CU(CUA)?A CUA??x|x?U且x?A? 能够判断真假的语句。 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p 否命题：若?p，则?q 逆否命题：若?q，则?p 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。 充要 条件 逻辑 连接词 量词 p?q，p是q的充分条件 若命题p对应集合A，命题q对应集合p?q，q是p的必要条件 B，则p?q等价于A?B，p?q等p?q，p,q互为充要条件 价于A?B。 类比集合的并 p?q，p,q有一为真即为真，p,q均为假时才为假。 类比集合的交 p?q，p,q均为真时才为真，p,q有一为假即为假。类比集合的补 ?p和p为一真一假两个互为对立的命题。 ?，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 ?，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 2.平面向量 重要概念 r0向量 平行向量 向量夹角 投影 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 r长度为0，方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 重平要面法向则量 定理 基本定理 共线条件 垂直条件 rrrr起点放在一点的两向量所成的角，范围是?0,??。a,b的夹角记为?a,b?。 rrrrr?a,b???，bcos?叫做b在a方向上的投影。【注意：投影是数量】 rrrrrrre1,e2不共线，存在唯一的实数对(?,?)，使a??e1??e2。若e1,e2为x,y轴上r的单位正交向量，(?,?)就是向量a的坐标。 各种运减法 算 运算 加法 运算 法则 算律 法则 分解 rrrra,b（b?0共线?存在唯一实数?，rra??b rrrra?b?agb?0。 rra?b的平行四边形法则、三角形法则。 rrrrrrrrrra?b?b?a，(a?b)?c?a?(b?c) rra?b的三角形法则。 uuuuruuuruuuurMN?ON?OM。 第 1 页 共 12 页
一般表示 坐标表示（向量坐标上下文理解） (x1,y1)??(x2,y2)?x1y2?x2y1 x1y1?x2y2?0。 rra?b?(x1?x2,y1?y2)。 与加法运算有同样的坐标表示。 rra?b?(x1?x2,y1?y2) uuuurMN?(xN?xM,yN?yM)。
概念 数乘 运算 算律 概念 数量积运算 主要性质 rr??a为向量，??0与a方向相同， rrr??0与a方向相反，?a??a。 r?a?(?x,?y)。 与数乘运算有同样的坐标表示。 ?(?a)?(??)a，(???)a??a??a， ?(a?b)??a??b rrrrrragb?a?bcos?a,b? rrr2rrrraga?a，agb?a?b。 rragb?x1x2?y1y2。 ra?x2?y2， 22x1x2?y1y2?x12?y12?x2?y2算律 rrrrrrrrrragb?bga，(a?b)gc?agc?bgc， rrrrrr(?a)gb?ag(?b)??(agb)。 与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。 *3.不等式、线性规划 （1）a?b，b?c?a?c； （2）a?b，c?0?ac?bc；a?b，c?0?ac?bc； （3）a?b?a?c?b?c； （4）a?b，c?d?a?c?b?d； （5）a?b?0，c?d?0?ac?bd； *nnnn不等式的性质 两个实数的顺序关系： a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?一元二次不等式 （6）a?b?0，n?N，n?1?a?b；a?b 是ab?0。 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集． 11?的充要条件ab基本 不等式 a?b2a?b?2ab（a,b?0）；ab?(；)（a,b?R）a?b ab?222222（a?0,b?0） 2ab≤ab≤a?b≤a?b（a,b?0）；a?b?2ab。 a?b二元一次不等式组 22二元一次不等式Ax?By?C?0的解集是平面直角坐标系中表示Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分。 约束条件 对变量x,y的制约条件。如果是x,y的一次式，则称线性约束条件 目标函数 求解的最优问题的表达式。如果是x,y的一次式，则称线性目标函数。 基本 概念 简单的 线性规划 问题 解法 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解。 可行域 所有可行解组成的集合叫可行域。 最优解 使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫最优解。 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或者最大值的问题。 第一步 画出可行域。 注意区域 不含 第二步 根据目标函数几何意义确定最优解。 边界的虚实。 实际背景 第三步 求出目标函数的最值。 第一步 设置两个变量，建立约束条件和目标函数。 注意实际问题对含 变量的限制。 实际背景 第二步 同不含实际背景的解法步骤。
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*4.函数﹑基本初等函数I的图像与性质 概念 表示方法 函数概念及其表示 本质：定义域内任何一个自变量对应唯一的函数值。两函数相等只要定义域和对应法则相同即可。 解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集。 对定义域内一个区间I，x1,x2?I,x1?x2,， 偶函数在定义域关f(x)是增函数?f(x1)?f(x2)， 单调性 于坐标原点对称的f(x)是减函数?f(x1)?f(x2)。 区间上具有相反的奇函数在定对定义域内任意x，f(x)是偶函数单调性、义域关于坐标原点?f(x)?f(?x)，f(x)是奇函数奇偶性 对称的区间上具有?f(?x)??f(x)。偶函数图象关于y轴对称、相同的单调性。 奇函数图象关于坐标原点对称。 对定义域内任意x，存在非零常数T，f(x?T)?f(x) 周期性 性质 基本初等函数Ⅰ 0?a?1 (??,??)单调递减，x?0时y?1，x?0时0?y?1 函数图象过y?ax (??,??)单调递增，x?0时0?y?1，x?0时y?1 定点(0,1) a?1 对数函数 0?a?1 在(0,??)单调递减，0?x?1时y?0，x?1时y?0 函数图象过y?logax a?1 在(0,??)单调递增，0?x?1时y?0，x?1时y?0 定点(1,0) 在在(0,??)单调递增，图象过坐标原点 幂函数 ??0 函数图象过定点(1,1) y?x? 在在(0,??)单调递减 ??0 指数函数 *5. 函数与方程﹑函数模型及其应用 函数零点 概念 存在定理 概念 解题步骤 方程f(x)?0的实数根。方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 图象在[a,b]上连续不断，若f(a)f(b)?0，则y?f(x)在(a,b)内存在零点。 把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。 阅读审题 分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。 数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。 解答模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果。 解释模型 将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。 函数建模 **6. 三角函数的图像与性质 基本三问角题 函数三的角图函象数与的性性质 质与图定义 同角三角 函数关系 诱导公式 任意角?的终边与单位圆交于点P(x,y)时，sin??y,cos??x,tan??y． xsin2??cos2??1,值域 周期 sin??tan?。 cos?360???,180???，??，90???,270???， “奇变偶不变，符号看象限”． 单调区间 增??奇偶性 对称中心 对称轴 y?sinx （x?R） ??1,1? 2k? ?????2k?,?2k?? 2?2?3?????2k?? 减??2k?,2?2?增????2k?,2k?? 减?2k?,2k???? x?奇函数 (k?,0) k?? ?2y?cosx （x?R） ??1,1? 2k? 偶函数 (k?? ?2,0)x?k? 第 3 页 共 12 页
象 y?tanx ?(x?k??) 2平移变换 R 上下平移 左右平移 k? 增???????k?,?k?? 2?2?奇函数 ?k??,0? ?2??无 y?f(x)图象平移k得y?f(x)?k图象，k?0向上，k?0向下。 ??0向左，??0向右。y?f(x)图象平移?得y?f(x??)图象，图象变换 伸缩变换 x轴方向 y?f(x)图象各点把横坐标变为原来?倍得y?f(1?x)的图象。 对称变换 y轴方向 y?f(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍得y?Af(x)的图象。 中心对称 y?f(x)图象关于点(a,b)对称图象的解析式是y?2b?f(2a?x) y?f(x)图象关于直线x?a对称图象的解析式是y?f(2a?x)。 轴对称 *7. 三角恒等变换与解三角形 和差角公式 正弦 sin(???) ?sin?cos??cos?sin?cos(???) ?cos?cos?msin?sin? 变换公式 余弦 正切 定理 正弦 定理 变形 类型 定理 三角恒等变换与解三角形 余弦 定理 变形 类型 面积 公式 基本 公式 导出 公式 基本思想 tan(???)? tan??tan?1mtan?tan?2tan?sin2??2sin?cos? 1?tan2?21?tan?22cos2??cos2??cos??sin?1?tan2??2cos2??1?1?2sin2?21?cos2?sin?? 21?cos2?2tan?2 cos?? tan2??221?tan?sin2??倍角公式 a?b?c。 射影定理： sinAsinBsinCa?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC（R外接圆半a?bcosC?ccosB b?acosC?ccosA 径）。 c?acosB?bcosA 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。 a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC。 b2?c2?a2(b?c)2?a2cosA???1等。 2bc2bc两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 111111a?ha?b?hb?c?hc?absinC?bcsinA?acsinB。 222222abc1S?（R外接圆半径）；S?(a?b?c)r（r内切圆半径）。 4R2S?实际 应用 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。 仰视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 角 俯视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 角 常用术语 方方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始向方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）。 角 方位角：某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 概念 按照一定的次序排列的一列数。分有穷、无穷、增值、递减、摆动、常数数列等。 第 4 页 共 12 页 *8. 等差数列﹑等比数列 数 一般列、等差数列等比数列 数列 ?an? 简单的递推数列解法 通项公式 前n项和 累加法 累乘法 转化法 待定 系数法 概念 数列?an?中的项用一个公式表示，an?f(n) Sn?a1?a2?L?an an?1?an?f(n)型 an?1?anf(n)型 ?S1,n?1,an???Sn?Sn?1,n?2. an?1an?1解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即aa?1?pan?q?pn?1(p?0,1,q?0)?n?n?q 转化为两类基本数列n?1ppn----等差数列、等比数?can?d(c?0,1,d?0)?an?1???c(an??)。列求解。 比较系数得出?，转化为等比数列。 满足an?1?an?d（常数），d?0递增、d?0递减、d?0常数数列。 等差数列 ?an? 通项 公式 前n项 和公式 概念 an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d am?an?ap?aq?m?n?p?q。 am?an?2ap?m?n?2p。 n(a1?an)n(n?1) Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,L为等差数列。 d?22满足an?1:an?q（q?0的常数），单调性由a1的正负，q的范围确定。 Sn?na1?an?a1qn?1等比数列 通项 公式 前n项 和公式 ?amqn?m aman?apaq?m?n?p?q， aman?a2p?m?n?2p Sm,S2m公比不等于?1时，?Sm,S3m?S2m,L成等比数列。 ?an? ?a1(1?qn)a1?anq?,q?1,?Sn??1?q 1?q?na,q?1.?1 *9. 数列求和及其数列的简单应用 n(a1?an)n(n?1)n(n?1)，特别1?2?3?L?n?。 d?222?a1(1?qn)a1?anq?,q?1,?2n?1n，特别1?2?2?L?2?2?1。 1?q等比数列 Sn??1?q?na,q?1.?1等差数列 常用求和公式 Sn?na1?数列求和及数列的简单应用 自然数 平方和 自然数 立方和 公式法 12?22?32?L?n2?(2n?1)n(n?1)(2n?1)。 (1?2?L?n)?362?n(n?1)?。 13?23?L?n3?(1?2?L?n)2???2??n如an?2?2n,an?3。 常用裂项方法：nn如an?2n?2，an?(?1)n?2。 常用求和方法 分组法 裂项法 错位 相减法 倒序 相加法 如an?111??。 n(n?1)nn?1n如an?(2n?1)?2。 01kn如Cn?Cn?L?kCn?L?Cn。 1?1(1?1)； n(n?k)knn?k11?11?????； n2?12?n?1n?1?11?11?????； 4n2?12?2n?12n?1?n?111??。 n(n?1)?2n(n?1)2n?1n?2n 数
等差数列 基本特征是均匀增加或者减少。 第 5 页 共 12 页
高中数学知识点（表格格式）讲解学习 - 图文
