2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案
题 号 得 分 评卷人 复核人 （考试时间：2014年6月21日上午10：00－11：20） 二 一 合 计 9 10 11 注意事项：
1．本试卷共二大题，全卷满分120分。 2．用圆珠笔或钢笔作答。
3．解题书写不要超过装订线。 4．不能使用计算器。
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1．设集合A?xax?2?0,B???1,2?，满足A?B，则实数a的所有可能取值为 ． 解：当A??时，a?0；当A??时，A????，?故应填?1,0,2．
2．袋中装有大小、形状相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现在从中任意摸出14个球，刚好摸到3个红球的概率是 ．
31113C5C1313解：P?，故应填． ?1451C1851???2??a?2??1或2，即a?2或?1 a?13??3．复数???22i???6n6n?n?N??的值是 ．
6n?13?????解：??cos?isin??cos2n??isin2n??1，故应填1．
?22i????33?????1?x?y?3,24．已知?则2x?3y的最大值是 ． ??1?x?y?1.解：令2x?3y??3b，则y?当x?2,y?1时，2x?3y
2y22x?b 3?5，故应填5． Ox?2?maxb
5．已知各项均为正数的等比数列?an?满足：a2?a3?14,a1a2a3?343，则数列?an? 的通项公式为 ．
7?2??a2?a3?14,?a1q?a1q?14,?a1?,解：?，即?，解之?3 33aaa?343.?123???a1q?343.?q?3.7an?a1qn?1??3n?1?7?3n?2，故应填an?7?3n?2．
36．已知?为锐角，向量a??cos?,sin??,b??1,?1?满足a?b?22，则 35???sin????? ．
12??解：0??22??2??a?b?cos??sin?，即cos?????，且0???
434?3?????45??． sin?????1?cos2?????1??4?4?93??5?????????????????sin????sin????sin??cos?cos?????????sin ??12?4?6?4?64?6??????5321151151?????，故应填?． 32326363227．若方程x?xy?2y?x?a?0表示两条直线，则a的值是 ． 解：令x?xy?2y?x?a??x?y?m??x?2y?n?，则
221?m??3?m?n?1?22???n?2m?0，解之?n?，故应填．
39??mn?a?2?a??9?8．已知
?2?1?21?a?b2，其中a和b为正整数，则b与27的最大公约数是 ．
nn解：令an1?2???1?2???22，则an?1?2an?an?1,a1?1,a2?2，
22?3??23?mod27?， a3n?an8an?3??1?，b?a21?a7?8a7?n??b,27???a21,27???23,27??1，故应填1．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
9．（本题满分16分）
得分 矩形ABCD中，AB?2,AD?4，E,F分别在AD,BC 评卷人 上，且AE?1,BF?3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在 平面CDEF上的射影H在直线DE上．求二面角A?DE?F的大小．
B
AEDA ED
FC 解：如图1，延长FE、BA相交于点O,连结OH，过A作AG?OH,垂足为G,则
BFC
HAG?平面CDEF，过G作GQ?EH，垂足为Q，连结AQ，则由三垂线定理可得 AQ?EH，?AQG为二面角A?DE?G的平面角．?AGE与?BHF关于点O位似，
位似比为 O
1，GH?2OG，BH?3AG. 3BOGAAQEHPDGEQPHDFCBF
C
图1
图2
如图2，BP?OF391，PH?PE?BE2?BP2?5??； ?2222如图1，BH?BP2?PH2?2291??2，AG?，又图2知GQ?，
3322，
即AG?GQ，于是?AQG??4故二面角A?DE?F的大小为
3?． 4 10．（本题满分20分）
得分 22xy??1的右焦点F作直线交椭圆C于 评卷人 过椭圆C:2516 A、B两点，已知AB?8，试求直线AB的方程．
?x12y12??1??2516解：令A?x1,y1?,B?x2,y2?，直线AB的斜率为k，则?
22?x2?y2?1??2516两式相减并整理得ky1?y216??
x1?x225103?25?3?25?x?x?得 ?x??x121?2???35?353???由8?AB?AF?BF?32y1?y2?252又k? ?15k解得k??x1?x2105?6?33232?8不合题意， 若k不存在，则AB?5故所求直线AB的方程为y??
25?x?3?． 5 11．（本题满分20分）
得分 ?1? 评卷人 已知不等式?1???n?
数a的取值范围．
n?a?e对任意正整数n都成立，试求实
?1?解：由?1???n?n?a?e得a?n?1?1?ln?1???n? ，令f?x??x?1?1?ln?1???x??x?0?，则
11?11x， f'?x??1??1?11????ln2?1??x2?x?ln2?1????x??x?利用不等式0?ln?1??1x2??1???x?1x?x2?x?0?得f'?x??0，
11，则x?， xt?1从而f?x??x?1?1?ln?1???x??x?0?是减函数，令t?1?1?lnt?t?11?t?1 limf?x??lim???lim?lim?lim?t?1x???t?1t?1t?1t?11lnt?tlnt?lnttlnt?t?1?lnt?1?t?11?lim??． t?1lnt?1?121故实数a的取值范围为a??．
2（珠海市第一中学 傅乐新提供及解答）
1?1t
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