袁轲教学资料（高中数学）
反正切：arctanx???????，?，?x?R? ?22? 34. 不等式的性质有哪些？ （1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc
（2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd （4）a?b?0?1111?，a?b?0?? abab （5）a?b?0?an?bn，na?nb
（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a 如：若11??0，则下列结论不正确的是（ab）
A.a2?b2 C.|a|?|b|?|a?b| 答案：C
35. 利用均值不等式：
B.ab?b2
D.ab??2 ba?a?b? a?b?2aba，b?R；a?b?2ab；ab???求最值时，你是否注
?2?22???2意到“a，b?R?”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定
值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：
a2?b2a?b2ab??ab?a，b?R? 22a?b?? 当且仅当a?b时等号成立。 a?b?c?ab?bc?caa，b?R 当且仅当a?b?c时取等号。 a?b?0，m?0，n?0，则
222??bb?ma?na??1?? aa?mb?nb41
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如：若x?0，2?3x? （设y?2??3x?4的最大值为x
??4???2?212?2?43 x? 当且仅当3x?423，又x?0，∴x?时，ymax?2?43） x3
又如：x?2y?1，则2x?4y的最小值为 （∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值为22） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明1? （1?111?????2 2232n2111111 ??????1??????1?22?3n?1n2232n2??11111???????223n?1n
1?2??2）n?1?1? 37.解分式不等式f(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？ g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：?x?1??x?1??x?2??0
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x?3|?x?1?1
23 42
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（解集为?x|x???1??） 2? 41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1 求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)
证明：|f(x)?f(a)|?|(x2?x?13)?(a2?a?13)|
?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1) ?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|
?|x|?|a|?1 又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1?
（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值
例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是 （设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和 umin?3???2??5，∴5?a，即a?5
或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 43. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和Sna1?an?n???na21?n?n?1?2d
性质：?an?是等差数列
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（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?； bmT2m?1 （5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界 项，即：
当a1?0，d?0，解不等式组??an?0可得Sn达到最大值时的n值。
?an?1?0 当a1?0，d?0，由??an?0可得Sn达到最小值时的n值。
a?0?n?1
如：等差数列an，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n? （由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1 又S3????a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1 3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3?????18 ∴Sn?222 ?n?27）
44. 等比数列的定义与性质 定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1 an 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy
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?na1(q?1)? 前n项和：Sn??a11?qn（要注意!）
(q?1)??1?q?? 性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？
（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法
111a1?2a2????nan?2n?52221 解：n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14
2111 n?2时，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?52221 ?1???2?得：nan?2
2 如：?an?满足 ∴an?2n?1?1?
?2?
?14(n?1) ∴an??n?1
2(n?2)?［练习］
数列?an?满足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an 3 （注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1?4 Snn 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4 n?2时，an?Sn?Sn?1????3·4 （2）叠乘法
例如：数列?an?中，a1?3，n?1
an?1n?，求an ann?1 解：
a2aaa12n?11·3??n?·??，∴n? a1a2an?123na1n45
高中数学常用公式及常用结论
