袁轲教学资料（高中数学）
km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.
n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所
hk有排列数有AhAh?1种.
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.
Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有
(mn)!. (n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有
p!m!nnn. N?Cp?Cp...C?m!??nnn1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有
nnnnnN?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?12m1mp!m!.
a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号
p!的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N?.
n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有
p!. N?n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，n2，?，nm等m个数是否全相N? ?异或不全相异其分配方法数恒有
nmn1n2N?Cp?Cp...C?n1nm?nmn1n2Cp?Cp...C?n1nm?m!p!.
n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
f(n)?n![1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
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1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!ppmmmm
1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)p???(?1)m].
AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数
(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的正整数解有Cn?1个.
m?1(2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 Cn?1个.
n?m?1(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)的非负整数解有
n?1个. Cm?1?(n?2)(k?1)?(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)的正整数解有
?11n?12n?1n?2n?2n?1Cnn???CC?CC???(?1)Cn?2Cm?1?(n?2)k个. m?1n?2m?n?k?2n?2m?n?2k?30n1n?12n?22rn?rrnn161.二项式定理 (a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;
二项展开式的通项公式
rn?rr1，2?，n). Tr?1?Cnab(r?0，162.等可能性事件的概率
P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P,2,?); i?0(i?1（2）P1?P2???1. 169.数学期望
E??x1P1?x2P2???xnPn??
170.数学期望的性质
（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?q171.方差
k?1p，则E??21. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??
172.标准差
22??=D?.
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173.方差的性质
(1)D?a??b??a2D?；
(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??q. p2174.方差与期望的关系
D??E?2??E??.
175.正态分布密度函数
2f?x??1e2?6??x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表示个体的平均数与标
准差.
176.标准正态分布密度函数
x?1f?x??e2,x????,???.
2?6177.对于N(?,?2)，取值小于x的概率
?x???F?x?????.
???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?
2?F?x2??F?x1?
?x????x1??????2?????.
??????178.回归直线方程
n??xi?x??yi?y????b?i?1n??2y?a?bx，其中??xi?x???i?1??a?y?bx?xy?nxyiii?1nn?xi2?nx2i?1.
179.相关系数
r???x?x??y?y?iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn ?2??x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限
?0?n（1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.
?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1???a0?at（2）lim??(k?t).
n??bnt?bnt?1???bbtt?10?k?不存在 (k?t)?
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（3）S?lima11?qn1?q?n????a11?q（S无穷等比数列
?aq? (|q|?1)的和）.
n?11181. 函数的极限定理
x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.
x?x0x?x0182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);
（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,
x?x0x?x0则limf(x)?a.
x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限
1?0，liman?0（|a|?1）；
n??n??n11（2）limx?x0，lim?.
x?x0x?x0xx0（1）lim184.两个重要的极限 （1）limsinx?1；
x?0xx?1?（2）lim?1???e(e=2.718281845?).
x???x?185.函数极限的四则运算法则
若limf(x)?a，limg(x)?b，则
x?x0x?x0(1)lim??f?x??g?x????a?b；
x?x0x?x0(2)lim??f?x??g?x????a?b;
f?x?a(3)lim??b?0?. x?x0g?x?b186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则
n??n??(1)lim?an?bn??a?b；
n??n??(2)lim?an?bn??a?b； (3)limn??ana??b?0?
n??bbnn??n??(4)lim?c?an??limc?liman?c?a( c是常数). 187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）
f?(x0)?y?x?x0?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim.
?x?0?x?x?0?x188.瞬时速度
??s?(t)?lim?ss(t??t)?s(t)?lim.
?t?0?t?t?0?t24
189.瞬时加速度
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a?v?(t)?lim?vv(t??t)?v(t)?lim.
?t?0?t?t?0?t190.f(x)在(a,b)的导数
dydf?yf(x??x)?f(x)f?(x)?y????lim?lim.
dxdx?x?0?x?x?0?x191. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义
函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
192.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??11ex；(loga)??loga. xx(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.
（1）(u?v)'?u'?v'. （2）(uv)'?u'v?uv'.
193.导数的运算法则
u'u'v?uv'(v?0). （3）()?vv2194.复合函数的求导法则
设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数yu'?f'(u)，则
'''复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx，或写作fx'(?(x))?f'(u)?'(x). ?yu?ux195.常用的近似计算公式（当x充小时）
1n1x;1?x?1?x； 2n1??1?x； (2)(1?x)?1??x(??R)；
1?xx(3)e?1?x； (4)ln(1?x)?x；
(5)sinx?x（x为弧度）； (6)tanx?x（x为弧度）； (7)arctanx?x（x为弧度）
196.判别f(x0)是极大（小）值的方法
(1)1?x?1?当函数f(x)在点x0处连续时，
（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 197.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R） 198.复数z?a?bi的模（或绝对值）
|z|=|a?bi|=a2?b2. 199.复数的四则运算法则
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高中数学常用公式及常用结论
