袁轲教学资料（高中数学）
（2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．
????????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.
????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线.
????????????推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使MP?xMA?yMB，
?????????????????或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OP?OM?xMA?yMB.
????????????????119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k），则当k?1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
????????????????????????A、B、 C、D 四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC? ????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by．
????????????????OP?xOA?yOB?zOC.
121.射影公式
????''已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点在l上的射影B，
则
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????''AB?|AB|cos〈a，e〉=a·e
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122.向量的直角坐标运算
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3； 123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 124．空间的线线平行或垂直
????????????AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1).
rr设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则
?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2；
?z??z2?1rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.
125.夹角公式
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉=a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b22推论 (a1b1?a2b2?a3b3)2?(a?a?a)(b12?b2?b3)，此即三维柯西不等式.
212122222323.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD中, AC与BD所成的角为?,则
|(AB2?CD2)?(BC2?DA2)|cos??.
2AC?BDrrcos??|cosa,b|
rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|r?=r 222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroob所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量） （其中?（0???90）为异面直线a,128.直线AB与平面所成角
??????AB?m?????(m为平面?的法向量). ??arcsin???|AB||m|129.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A、B为?ABC的两个内角，则
127．异面直线所成角
sin2?1?sin2?2?(sin2A?sin2B)sin2?.
特别地,当?ACB?90时,有
?sin2?1?sin2?2?sin2?.
130.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、
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?2,A'、B'为?ABO的两个内角，则
tan2?1?tan2?2?(sin2A'?sin2B')tan2?.
特别地,当?AOB?90时,有
?sin2?1?sin2?2?sin2?. 131.二面角??l??的平面角
?????????m?nm?n??????或??arccos（m，n为平面?，?的法向量）. ??arccos|m||n||m||n|132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.
133. 三射线定理
若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos? ;
|?1??2|???180??(?1??2)(当且仅当??90?时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 135.点Q到直线l距离
????????????222 dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).
????????122h?(|a||b|)?(a?b)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).
|a|136.异面直线间的距离
????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离). d?|n|???????|AB?n|??（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|137.点B到平面?的距离
138.异面直线上两点距离公式
d?h2?m2?n2?2mncos?. ????????222'd?h?m?n?2mncosEA,AF. d?h2?m2?n2?2mncos?（??E?AA'?F）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，
'A'E?m,AF?n,EF?d).
139.三个向量和的平方公式
???2?2?2?2?????? (a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a
?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a
140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则
有
2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理
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S'. S?cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则
①S斜棱柱侧?c1l. ②V斜棱柱?S1l.
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：
'E?1nF； 2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?146.球的半径是R，则
1mV. 24?R3, 32其表面积S?4?R．
其体积V?147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积
66a,外接球的半径为a. 1241V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.
31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.
3149.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式
m=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！*
.(n，m∈N，且m?n)．
(n?m)！19
注:规定0!?1.
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152.排列恒等式
mm?1(1）An; ?(n?m?1)AnnmAn?1; n?mmm?1（3）An?nAn?1;
（2）An?mnn?1n（4）nAn?An?1?An; mmm?1（5）An. ?1?An?mAn(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式
Cmn=
Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*
==(∈N，m?N，且m?n). nm1?2???mm！?(n?m)！Am154.组合数的两个性质
mn?m(1)Cn=Cn ; mm?1m(2) Cn+Cn=Cn?1. 0注:规定Cn?1.
155.组合恒等式
n?m?1m?1Cn; mnmmCn（2）Cn??1; n?mnm?1m（3）Cn?Cn?1;
m（1）Cn?m （4）
?Cr?0rrnrn=2;
nrr?1（5）C?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1. 012rn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n. 135024(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2n?1. 123n (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.
156.排列数与组合数的关系
mm . An?m！?Cn157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
m?11m?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）?An?1An?1（着眼位m1m?1置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.
mm?1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
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高中数学常用公式及常用结论
