袁轲教学资料（高中数学）
(2)当0?a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0
?f(x)?g(x)?77.斜率公式
k?y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.
x2?x178.直线的五种方程
（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).
y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).
y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)
ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
79.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 ①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.
(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,
A1B1C1；
??A2B2C2②l1?l2?A； 1A2?B1B2?0①l1||l2?80.夹角公式
k2?k1|.
1?k2k1(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
AB?A2B1(2)tan??|12|.
A1A2?B1B2(l1:A). 1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0?直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是.
281. l1到l2的角公式
k?k1(1)tan??2.
1?k2k1(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
AB?A2B1(2)tan??12.
A1A2?B1B2(l1:A). 1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0?直线l1?l2时，直线l1到l2的角是.
2(1)tan??|
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82．四种常用直线系方程
k (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为
(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ
是参变量．
83.点到直线的距离
A?B84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域
设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是：
若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域
设曲线C:(A，则 1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0（A1A2B1B2?0）
d?|Ax0?By0?C|22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).
(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域是： (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分； (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.
22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).
22222?x?a?rcos?.
?y?b?rsin?（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).
（3）圆的参数方程 ?87. 圆系方程
(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是
(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0
?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程,λ是待定的
系数．
22(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是
x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．
22(3) 过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F2?0的交点的圆系方程是1?0与圆C2:x?y?D2x?E2y?Fx2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0,λ是待定的系数．
88.点与圆的位置关系
点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种 若d?222(a?x0)2?(b?y0)2，则
d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内.
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89.直线与圆的位置关系
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种:
d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.
Aa?Bb?C其中d?.
22A?B90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d
d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;
d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.
91.圆的切线方程
(1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0．
①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是
D(x0?x)E(y0?y)??F?0. 22D(x0?x)E(y0?y)??F?0表示过两个切点的切点弦方程． 当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?22②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不
x0x?y0y?要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆x?y?r．
2①过圆上的P点的切线方程为; (x,y)xx?yy?r00000222②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2. ?x?acos?x2y292.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?.
ab?y?bsin?x2y293.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式
aba2a2PF1?e(x?)，PF2?e(?x).
cc94．椭圆的的内外部
x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?ab95. 椭圆的切线方程
22x0y0??1. a2b222x0y0?2?1. 2abxxyyx2y2(1)椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.
abab
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x2y2 （2）过椭圆2?2?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
abx0xy0y?2?1. 2abx2y222222 （3）椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
abx2y296.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式
aba2a2PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|.
cc97.双曲线的内外部
x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的内部?abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的外部?ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22x0y0?2?1. 2ab22x0y0?2?1. 2abx2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.
aababxyx2y2b (2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.
abaabx2y2x2y2 (3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴上，??0，焦点在
ababy轴上）.
99. 双曲线的切线方程
xxyyx2y2 (1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.
ababx2y2 （2）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
abx0xy0y?2?1. 2abx2y222222 （3）双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
ab2100. 抛物线y?2px的焦半径公式
p抛物线y2?2px(p?0)焦半径CF?x0?.
2pp过焦点弦长CD?x1??x2??x1?x2?p.
222y22101.抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt,2pt)或 P(x?,y?)，其中 y?2?2px?.
2pb24ac?b22(a?0)的图象是抛物线：102.二次函数y?ax?bx?c?a(x?)?（1）顶点坐标为
2a4ab4ac?b2b4ac?b2?14ac?b2?1(?,)；,)；（2）焦点的坐标为(?（3）准线方程是y?. 2a4a2a4a4a103.抛物线的内外部
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(1)点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的内部?y2??2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0). 104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).
（2）过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0). （3）抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是
f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).
x2y2?2?1,其中k?max{a2,b2}.当k?min{a2,b2}时,表示椭(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2a?kb?k2222圆; 当min{a,b}?k?max{a,b}时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或
AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2?（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由
方程??y?kx?b2 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.
?F(x,y)?0107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. （2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是
F(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?0. 2222A?BA?B222108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0，用x0x代x，用y0y代y，用用
2x0y?xy0代xy，2x0?xy?y代x，用0代y即得方程 22xy?xy0x?xy?yAx0x?B?0?Cy0y?D?0?E?0?F?0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是
222此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点；
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高中数学常用公式及常用结论
