袁轲教学资料（高中数学）
n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an???sn?sn?1,n?240.等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
其前n项和公式为
n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d1?n2?(a1?d)n. 22sn?41.等比数列的通项公式
an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； q其前n项的和公式为
?a1(1?qn),q?1?sn??1?q
?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.
?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为
?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；
,q?1?q?1?其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)
ab(1?b)n每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1?b)?144．常见三角不等式 （1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.
?2(3) |sinx|?|cosx|?1.
)，则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式
sin2??cos2??1，tan?=
sin?，tan??cot??1. cos?46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
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n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2cos?, cos(??)??n?12?(?1)2sin?,?
47.和角与差角公式
?(???) sins?inc?o?s?cos; ?scos?(???)co?sc??os?sin; ?stan??ta?n. tan?(???)1?ta?nta?nsin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bco?s=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)??的象限决定,tan48.二倍角公式
b ). asin?2?s?inc?o. scos?2?c2o?s?2s?in?2ta?ntan?2?. 21?tan?49. 三倍角公式
22c?o?s??112?2sin.
sin?3?cos?3?3s?i?n4c3?os?34?s?in???4sin??sin(??). sin(33)).
3?c?os???4cos??cos(??)cos(333ta?n?t3a?ntan?3??ta?n21?3tan?50.三角函数的周期公式
tan?(?3?)ta?n?. (3?)(x??，)(x??，)函数y?sin?x∈R及函数y?cos?x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?函数y?tan(?x??)，x?k??51.正弦定理
2??；
?2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T??. ?abc???2R. sinAsinBsinC52.余弦定理
a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.
53.面积定理
111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.
222（1）S?
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(3)S?OAB????????2????????21?(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 254.三角形内角和定理
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
?C?A?B???2C?2??2(A?B). 22255. 简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k??(?1)karcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).
tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).
特别地,有
sin??sin????k??(?1)k?(k?Z).
cos??cos????2k???(k?Z).
tan??tan????k???(k?Z).
56.最简单的三角不等式及其解集
sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.
cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z.
tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k???2),k?Z.
tanx?a(a?R)?x?(k???2,k??arctana),k?Z.
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).
???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
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(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).
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(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 63.两向量的夹角公式
cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
64.平面两点间的距离公式
???????????? dA,B=|AB|?AB?AB ?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
65.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 66.线段的定比分公式
????????设P12的分点,?是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1??PP2，则
x1??x2?????????x??????OP?1??1??OP2 OP???y??y1??2?y?1?1???????????????1t?（）. ?(1?t)OP?OP?tOP121??67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3368.点的平移公式
''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''???y?y?k?y?y?k'????注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP'的坐标为(h,k).
'''69.“按向量平移”的几个结论
（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x?h,y?k).
(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y?f(x?h)?k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为
'''''y?f(x?h)?k.
''(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.
?????????????（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.
????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.
?????????????O?ABC（4）为的内心?aOA?bOB?cOC?0.
????????????（5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.
71.常用不等式：
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（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
22a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).
（2）a,b?R??（4）柯西不等式
(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.
（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
12s. 4推广 已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.
73.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；
22x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x?a?x2?a??a?x?a.
2x?a?x2?a2?x?a或x??a.
75.无理不等式 （1）（2）（3）?f(x)?0? . f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0??f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)?
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高中数学常用公式及常用结论
