袁轲教学资料（高中数学）
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式
CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA
?A?CUB???CUA?B?R
4.容斥原理
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)
card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)
?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).
5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式
22nnnnN?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0
M?NM?Nf(x)?N|??0 ?|f(x)??22M?f(x)11?. ?f(x)?NM?N8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是
充分条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或
2f(k1)?0且k1??k?k2k?k2bb?1???k2. ,或f(k2)?0且12a222ab处及区间的两端点处取得，具2a9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??体如下：
(1)当a>0时，若x??bb??p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2abb??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x????p,q?，则(2)当a<0时，若x??2a2af(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.
x??
1
袁轲教学资料（高中数学）
10.一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q，则
?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；（2）方程f(x)?0在
???m?2?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?2区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p?4q?0或?或?；
af(n)?0af(m)?0????m??p?n??2?p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .
???m?211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).
?a?0?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.
?c?0?b?4ac?0?12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， p或q 成立 不成立 对任何x， 不成立
2
反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q 存在某x， p且q 成立 ?p或?q 袁轲教学资料（高中数学）
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
15.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x)?f(x)?0??12x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为
(x1?x2)?f(x?f(x0?)??1)2减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数
y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a).
20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?b;两2a?b对称. 2a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数
2y?f(x)为周期为2a的周期函数.
22．多项式函数P(x)?anx?an?1xnn?1???a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性
)?f(a? x)(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x?f(2a?x)?f(x).
3
袁轲教学资料（高中数学）
(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx).
24.两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b对称. 2m(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线
f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1?1[f(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数ky?[f?1(kx?b)是y?1[f(x)?b]的反函数. k28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
x(2)指数函数f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，
?'f(0)?1,limx?0g(x)?1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，
1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0),
f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 21(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期T=4a；
1?f(x1)f(x2)(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.
或f(x?a)?30.分数指数幂 (1)amn?1nam（a?0,m,n?N，且n?1）.
? 4
袁轲教学资料（高中数学）
(2)a?mn?1amn（a?0,m,n?N?，且n?1）.
31．根式的性质 （1）(na)n?a.
（2）当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，nan?|a|??32．有理指数幂的运算性质 (1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
p
注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
?a,a?0.
?a,a?0?logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
34.对数的换底公式
logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
mlogaN?35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;
M?logaM?logaN; N(3)logaMn?nlogaM(n?R).
(2) loga236.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;
若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广
1,则函数y?logax(bx) a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11和上y?log. (为减函数))(,??)， (2)当a?b时,在(0,axbxaa 若a?0,b?0,x?0,x?推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga38. 平均增长率的问题
2
m?n. 2x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p). 39.数列的同项公式与前n项的和的关系
5
高中数学常用公式及常用结论
