代数综合专题
东城区
20. 已知关于x的一元二次方程x2??m?3?x?m?2?0.
(1) 求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根的平方等于4，求m的值. 20. （1）证明：?=?m+3?-4?m?2?=?m+1? ∵?m+1?≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实根. -------------------2分 （2）解：由求根公式，得x1,2∴x1=1，x2=m+2. ∵方程有一个根的平方等于4， ∴?m+2??4.
解得m=-4，或m=0. -------------------5分 西城区
20．已知关于x的方程mx2?(3?m)x?3?0（m为实数，m?0）． （1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．
【解析】（1）??(3?m)2?4m?(?3)?m2?6m?9?12m?m2?6m?9?(m?3)2≥0 ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）由求根公式，得x?∴x1?1，x2??2222m?3???m?1??=2，
?(3?m)?(m?3)，
2m3（m?0）． m∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m的值为?1或?3． 海淀区
20．关于x的一元二次方程x2?(2m?3)x?m2?1?0. （1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
1
（2）若m为负数，判断方程根的情况. ．．20．解：（1）∵m是方程的一个实数根，
22∴m??2m?3?m?m?1?0. ………………1分
∴m??. ………………3分 (2)??b?4ac??12m?5. ∵m?0，
∴?12m?0.
∴???12m?5?0. ………………4分 ∴此方程有两个不相等的实数根. 丰台区
20．已知：关于x的一元二次方程x- 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． ．．．．．．
20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0.
∴Δ=（?4）?4?2m?16?8m?0．
∴m?2. ………………………2分 （2）∵m?2，且m为非负整数，
∴m=0或1. ………………………3分 当m=0时，方程为x2?4x?0，解得方程的根为x1?0，x2?4，符合题意； 当m=1时，方程为x2?4x?2?0，它的根不是整数，不合题意，舍去. 综上所述，m=0. ………………………5分
石景山区
20．关于x的一元二次方程mx?(3m?2)x?6?0． （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
20．解：（1）∵??b?4ac ?(3m?2)?24m
2222
1322 2
?(3m?2)≥0 ∴当m?0且m??223时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分
（2）解方程，得： x1?2,x2??3． …………… 4分 m ∵m为整数,且方程的两个根均为负整数, ∴m??1或m??2．
∴m??1或m??2时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分 朝阳区
20. 已知关于x的一元二次方程x?(k?1)x?k?0． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围.
20. （1）证明：依题意，得??(k?1)?4k …………………1分 ?(k?1). …………………………………2分
∵(k?1)?0，
∴方程总有两个实数根. ………………………3分
（2）解：由求根公式，得x1??1，x2??k. …………………………4分
∵方程有一个根是正数， ∴?k?0.
∴k?0.………………………………5分 燕山区
21．已知关于x的一元二次方程x?(2k?1)x?k?k?0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一个根为1时，求k的值． 21．（1） 证明：因为
222222b2?4ac???(2k?1)??4?1?(k2?k)
2?1?0
所以有两个不等实根 …………3′.. (2)当x=1 时，1?(2k?1)?1?k?k?0
2k2?k?0 ′ k1?0或k2?1 ………5′
门头沟区
3
22. 已知关于x的一元二次方程2x2?4x?k?1?0有实数根. （1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k的取值.
22（本小题满分5分）
解：（1）由题意得，??16?8(k?1)≥0．………………………………………1分
∴k≤3． ………………………………………2分
（2）∵k为正整数，
∴k?12，，3．
当k?1时，方程2x2?4x?k?1?0有一个根为零；……………………3分 当k?2时，方程2x2?4x?k?1?0无整数根； ……………………4分 当k?3时，方程2x2?4x?k?1?0有两个非零的整数根.
综上所述，k?1和k?2不合题意，舍去；k?3符合题意．……………5分 大兴区
20. 已知关于x的一元二次方程3x2?6x?1?k?0有实数根，k为负整数． （1）求k的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根． 20.解：（1）根据题意，得Δ=(－6)2
－4×3（1－k）≥0．
解得k??2．……………………………………………………………1分 ∵k为负整数，∴k=－1，－2．……………………………………… 2分 （2）当k??1时，不符合题意，舍去； ………………………………… 3分
当k??2时，符合题意，此时方程的根为x1?x2?1．………… 5分
平谷区
20．关于x的一元二次方程x2?2x?k?1?0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求此时方程的根．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴Δ?22?4?k?1??0 ···················· =8－4k >0.
∴k?2 ·························· 4
1
2
（2）∵k为正整数，
∴k=1． ··························· 3 解方程x2?2x?0，得x1?0,x2??2． ············· 5 怀柔区
20.已知关于x的方程x2?6mx?9m2?9?0. （1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1>x2，若x1=2x2，求m的值.
20.(1）∵△=(-6m)-4(9m-9) ……………………………………………………………………1分
=36m-36m+36 =36>0.
∴方程有两个不相等的实数根……………………………………………………………2分 （2）x?2
22
2
6m?366m?6??3m?3.……………………………………………………3分 22∵3m+3>3m-3,
∴x1=3m+3,x2=3m-3, …………………………………………………………………………4分 ∴3m+3=2(3m-3) .
∴m=3. …………………………………………………………………………………………5分 延庆区
20．已知：∠AOB及边OB上一点C．
求作：∠OCD，使得∠OCD=∠AOB．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个即可） ．． 2．请你写出作图的依据．
A
OCB
20． （1）作图（略） ……2分
5
(2020精选)中考数学代数综合专题试卷精选汇编(有解析答案)
