考点50：利用导数求函数的单调性
【题组一 求函数的单调性】
1．已知函数f?x??lnx?x?1，则f?x?的单调递增区间为______． 【答案】?0,1?
【解析】f?x?的定义域是?0,???，f'?x??故f?x?在?0,1?递增，故答案为?0,1?．
11?x?1?，令f'?x??0，解得：x?1， xxex2．求函数f(x)?的单调增区间是__________．
x【答案】?1,???(或1,???)
?exxex?ex【解析】由f(x)?，得f'?x??令f'?x??0，可得x?1 2xxex故函数f?x??的单调递增区间是?1,???故答案为?1,???(或?1,???).
x3．函数f(x)?xlnx的单调减区间是______． 【答案】(0,)
【解析】函数的定义域为x?0，减区间是?0,1e1y'?lnx?1，令lnx?1?0，得0?x?,?函数y?xlnx的单调递
e??1??1?，故答案为??0,?. e??e?4．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间是________．
（，+?） 【答案】
121?1?14x2?1【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝4x－?＞0，得x＞.递增区间为?,???
2?2?xx5．函数f(x)?xlnx的单调递减区间为 ． 1【答案】(0，]
e【解析】函数的定义域为x?0y??lnx?1令lnx?10得0?x1， e
?函数y?xlnx的单调递减区间是( 0，]故答案为(0，]。
1e1e1
6．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间为________． 【答案】(0,1)
1
【解析】由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝x－x＜0，得0＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．
【题组二 单调函数求参数】
1．已知函数f(x)?13x3?(2?a)x2?x?4在(0，2]上为增函数，则a的取值范围是 。
【答案】(??,3]
【解析】函数f(x)?1323x?(2?a)x?x?4，可得f?(x)?x2?2(2?a)x?1，由条件，x2?2(2?a)x?10，x?(0，2]，即2(a?2)x?1x，x?(0，2]，由基本不等式知a3. 2.若函数f(x)?x3?kex在(0,??)上单调递减，则k的取值范围为 。 【答案】[12e2,??)
【解析】函数f(x)?x3?kex在(0,??)上单调递减，
?f?(x)?3x2?kex0在(0,??)上恒成立，?k3x2ex在(0,??)上恒成立， x)?3x2令g(3x(2?x)ex，x?0，则g?(x)?ex， 当0?x?2时，g?(x)?0，此时g(x)单调递增，x?2时，g?(x)?0，g(x)单调递减 故当x?2时，g(x)取得最大值g（2）?12e2，则k12e2， 3若函数f(x)?ex(cosx?a)在区间(???2,2)上单调递减，则实数a的取值范围是 。
【答案】[2,??)
【解析】f?(x)?ex(cosx?sinx?a)，若f(x)在区间(???2,2)上单调递减，
则cosx?sinx?a0区间(?????2,2)上恒成立，即acosx?sinx，x?(?2,2)，
令h(x)?cosx?sinx?2sin(??x)，x?(??4?2,2)， 故
??4?x?(??4，
34)，故sin(?4?x)的最大值是1，此时?4?x???2，即x??4，
题转化为
问
故h(x)的最大值是2，故a2，
14.若函数f(x)?x?sin2x?acosx在(??,??)内单调递增，则实数a的取值范围是 。
344【答案】[?,]
331【解析】函数f(x)?x?sin2x?acosx在(??,??)内单调递增，
32?f?(x)0在(??,??)内恒成立，即1?cos2x?asinx0在(??,??)内恒成立．
3?
421sinx?asinx?0在(??,??)内恒成立． 33410在[?1，1]内恒成立． sinx?t，t?[?1，1]．则有t2?at?331?42t?at?0在??1,0?内恒成立?4t1?33?a3?3t在??1,0?内恒成立??1?42440在t?0时恒成立，??t?R??t?at???t．
3333??4t11?42?a?在?0,1?内恒成立?3t?at?30在?0,1?内恒成立33t??15.函数f(x)?ex?1?ax2?(a?1)x?a2在(??,??)上单调递增，则实数a的范围是 。
2【答案】{1}
【解析】函数f(x)在R上单调递增．?f?(x)?ex?1?ax?(a?1)0恒成立， 令g(x)?ex?1?ax?(a?1)，则g?(x)?ex?1?a，
g（1）?0．?g(x)必须在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增．
?1为函数g(x)的极小值点．?g?（1）?1?a?0，解得a?1．
x3a26．若函数f(x)??x?x在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围为 。
325【答案】[,??)
2x3a2【解析】函数f(x)??x?x，?f?(x)?x2?ax?1，
32若函数f(x)在区间(1,2)上递减，故x2?ax?10在(1,2)恒成立，即ax?令g(x)?x?1(x?1)(x?1)，x?(1,2)，g?(x)?， xx21在(1,2)恒成立， x令g?(x)?0，解得：x?1，令g?(x)?0，解得：x?1，?g(x)在(1,3)递增， 而g（2）?
55 ，故a22
17.若函数f(x)?alnx?x2?2bx在[1，2]上单调递增，则a?4b的最小值是 。
2【答案】?4
12【解析】由f(x)?alnx?x?2bx，(x?0)，
2求导，f?(x)?a?x?2b，由x在[1，2]上单调递增， x?f?(x)?0，在[1，2]恒成立，
?a?1?2b0?f?(1)0?a?2b?1???，即?a，整理得：?，a?4b?4，故a?4b的最小值?4.
a?4b?4?2?2b0?f?(2)0???28.函数f(x)?ax?a?2lnx在定义域上是增函数，求实数a的取值范围 。 x【答案】[1，??)
aax2?2x?a(x?0)． 【解析】由f(x)?ax??2lnx，得f?(x)?xx2f(x)在定义域上是增函数，?f?(x)0在(0,??)上恒成立，
?a2x2x(0,??)?a()max(x?0)． 在上恒成立，只需
x2?1x2?1当x?0时，函数
g(x)?2x2?1x2?1x?1，当且仅当x?1时取等号，?g(x)max?1，
x?ag(x)max?1，?a的取值范围为[1，??)．
9.若函数f(x)?x?klnx在区间(1,??)单调递增，则k的取值范围是 。 【答案】(??，1]
【解析】f(x)?x?klnx在区间(1,??)单调递增， 所以f?(x)?1?k0在区间(1,??)恒成立，即kx在区间(1,??)恒成立，故k1． x110.若函数f(x)?lnx?x2?bx存在单调递减区间，则实数b的取值范围为 。 2【答案】(2,??)
12【解析】f(x)?lnx?x?bx，
2f?(x)?11?x?b0，即bx?(x?0)， xx112x?2，x?1时取等号，故b2， xx当x?0时，x?1x2?2x?10，f(x)递增，不成立，故b?2. 当b?2时，f?(x)??x?2?xx
【题组三 非单调函数求参数】
1.已知函数f(x)?x2?alnx?1在(1,2)内不是单调函数，则实数a的取值范围是 。 【答案】(2,8)
2a2x2?a【解析】函数f(x)?x?alnx?1，定义域{x|x?0}，?f?(x)?2x??，
xx当a0时，f?(x)?0，f(x)在(0,??)上是增函数，不符合题意， 当a?0 时，在(在(0,a，??)上，f?(x)?0，f(x)单调递增， 2a)上，f?(x)?0，f(x)单调递减， 2a?2，?2?a?8. 2函数f(x)?x2?alnx?1在(1,2)内不是单调函数，?1?2．若函数f(x)?ax3?3x2?x?1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是 。 【答案】(??,0)?(0,3)
【解析】∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1， 由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点， ∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3， ∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．
3．已知函数f(x)?ax2?4ax?lnx,则f(x)在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是 。 ①a?(??,) 【答案】③
16②a?(?1,??) 2③a?(,??)
12④a?(,)
116212ax2?4ax?1【解析】f′（x）=2ax﹣4a﹣=，
xx若f（x）在（1，3）上不单调，令g（x）=2ax2﹣4ax﹣1， 则函数g（x）=2ax2﹣4ax﹣l与x轴在（1，3）有交点， a=0时，显然不成立，
2???16a?8a?01a≠0时，只需?，解得：a＞.
2??g?1?g?3?＜04．已知函数f(x)＝－
13
x＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调递减函数，则b的取值范围是 。 3【答案】b<－1或b>3
考点50 利用导数求单调性——2021年高考数学专题复习真题附解析
