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第一篇三角函数与解三角形
专题08 三角形与平面向量结合问题
类型 已知平面向量的数量积求解三角形 平面向量的基本定理与解三角形相结合 解三角形与平面向量的数量积相结合 平面向量的坐标运算与解三角形相结合 通过解三角形求解平面向量的相关问题 以平面图形为背景考查向量问题 以平面向量的坐标运算探求三角形的最值问题 对应典例 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 典例6 典例7 【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】 在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且有cosA?cosAcos?C?B??sinBsinC
2（Ⅰ）求角A；
uuuvuuuv?（Ⅱ）若?ABC的内切圆面积为，当AB?AC的值最小时，求?ABC的面积．
【思路引导】
（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cosAsinBsinC?sinCsinB，从而求得cosA?结合A??0,??可求得结果；
（Ⅱ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b?c?a?23，代入余弦定理中可得到b?c与bc的关系，利用基本不等式可构造不等式求得bc?12，从而得到当b?c时，
1；2uuuvuuuvAB?AC取得最小值，将bc?12代入三角形面积公式即可求得结果.
解：（Ⅰ）QcosA?cosAcos?C?B??cosA???cos?B?C??cos?C?B???
2?cosA??cosBcosC?sinBsinC?cosCcosB?sinCsinB??2cosAsinBsinC
?2cosAsinBsinC?sinCsinB
QB,C??0,??，?sinCsinB?0，?cosA?1， 2
QA??0,??，?A??。 3（Ⅱ）由余弦定理得：a2?b2?c2?2bccosA?b2?c2?bc 由题意可知：?ABC的内切圆半径为1
如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D，E为切点
可得：AI?2，AD?AE?3?b?c?a?23
?b?c?23??2?b2?c2?bc，
化简得43?3bc?4?b?c??8bc（当且仅当b?c时取等号）
?bc?12或bc?4 3uuuvuuuv1又b?c?23?bc?12，即AB?AC?bccosA?bc??6,???，
2uuuvuuuv当且仅当b?c时，AB?AC的最小值为6
此时三角形ABC的面积：S?11?bcsinA??12?sin?33 223【典例2】【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高三上学期期中】 已知在VABC中，AB?1，AC?2．
uuuruuuruuur（1）若?BAC的平分线与边BC交于点D，求AD?2AB?AC；
??11?r2uuur2的最小值． （2）若点E为BC的中点，求uuuAEBC【思路引导】
uuur2uuur1uuurBDAB1??，然后得到AD?AB?AC，代入到（1）根据AD是角平分线，从而得到
CDAC233uuuruuuruuurAD?2AB?AC中，进行整理化简，得到答案；（2）根据E为BC的中点，在?ABE和?ACE中用余弦
??
11uuur2uuur2uuur2uuur2?uuuruuur2的最2定理，从而得到4AE?BC?2AB?AC?10，然后利用基本不等式，求出AEBC??小值，得到答案.
uuuruuurBDAB1r?uuur? 解：（1）因为AD是角平分线，从而得到uuuCDAC2uuur2uuur1uuur所以可得AD?AB?AC，
33uuuruuuruuurr1uuur?uuuruuur?2uuu所以AD?2AB?AC??AB?AC??2AB?AC?0；
3?3?????（2）在?ABE和?ACE由用余弦定理可得
uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2AE?BE?ABAE?CE?AC，cos?AEC?， cos?AEB?uuuruuuruuuruuur2AEBE2AECEuuuruuur而BE?CE，cos?AEB??cos?AEC，
uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2AE?BE?ABAE?CE?AC 所以得到??uuuruuuruuuruuur2AEBE2AECEuuur2uuur2uuur2uuur2整理得：4AE?BC?2AB?AC?10
????r2uuur2111?11?uuu?uuur2?uuur2??uuur2?uuur2?4AE?BC
10?AEAEBCBC??????1??4??10??uuur2uuur2?BC4AE?uuur2?uuur2?1? AEBC??uuur2uuur2??BC4AE?91???5?2uuur2?uuur2?? 10?AEBC?10??uuuruuur当且仅当BC?2AE时，等号成立.
【典例3】【2019届四川省雅安中学高三开学考试】
在?ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若?2a?c?cosB?bcosC．
高考数学专题08 三角形与平面向量结合问题(第一篇)(解析版)
