(2)设这些方程的另一个根为mi,求证
1111,,,…, ,…也成等差数列. m1?1m2?1m3?1mn?127、如果数列{an}中,相邻两项an和an?1是二次方程xn?3nxn?cn=0(n=1,2,3…)的两个根,
当a1=2时,试求c100的值.
8、有两个无穷的等比数列{an}和{an},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有an?1,试求这两个数列的首项和公比.
9、有两个各项都是正数的数列{an},{bn}.如果a1=1,b1=2,a2=3.且an,bn,an?1成等差数列,
bn,an?1,bn?1成等比数列,试求这两个数列的通项公式.
10、若等差数列{log2xn}的第m项等于n，第n项等于m(其中m?n)，求数列{xn}的前m＋n项的和。
数列复习题 〈答卷〉
一、选择题
1、 A 2、 C 3、 B 、 4、C 5、 A 6、 C 7、 C 8、 D 9、 C 10、 C 11、 D 12、 B 13、 C 14、 A 15、 B 16、 B 17、 D 18、 D 19、 D 20、 B 21、 B 22、 A 23、 D 24、 C 25、 B 26、 B 27、 A 28、 C 29、 B 30、 A 31、 A32、 B 33、 D34、 B 35、 C36、 C 37、 A 38、 B 39、 B 40、 C 二、填空题 1、 1802、 等比3、 2n－1,
n13624、 5、 2n+2.6、 11.7、8、249、32
2(n?2)316210、 68211、18、
?n?1112、2413、－4或2. 14、 1或?15、1023n?222?119、2.20、 2或?
316、100. 17、
71? 6n?1?三、解答题
1、 解： a1=－250, d=2, an=－250+2(n－1)=2n－252
同时满足70≤n≤200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=－112, b2=a77=－98,…, bn′=a196=140
其公差d′=－98－(－112)=14. 由140=－112+(n′－1)14, 解得n′=19
19?18?14?266. 212?(12?1)2、解： (Ⅰ)依题意,有 S12?12a1??d?0
2∴{bn}的前19项之和S?19?(?112)?S13?13a1??2a?11d?0(1)13?(13?1) ?d?0，即?12?a1?6d?0(2)由a3=12,得 a1=12－2d (3)
?24?7d?024将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ?，∴??d??3.
73?d?0?(Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0.
由此得 a6＞－a7＞0.因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
3、 (1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则Sn=
1n(50－4n),设Sn＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12. 24、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1) Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2) (2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1 即 an+2=3an+1
?3,当n?1时,此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=? n?12?3,当n?2时.?此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×3＋…＋2×35、an=Sn－Sn?1=
2
n – 1
2?3(3n?1?1)n
=3＋=3.
3?1111n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=×1×(1333＋1)×(2＋1)=2,∴a1= S1.则an＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴
111111111111??????????(1?)?(?)???(?)a1a2an1?22?33?4n(n?1)223nn?1＝1－
1n＝. n?1n?1226、 (1)设公共根为p,则aip?2ai?1p?ai?2?0①ai?1p?2ai?2p?ai?3?0②则②-① ,
得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为
－1).(2)另一个根为mi,则mi＋(－1)=
?2ai?12d2d??2?.∴mi+1=? 即aiaiaia111??i,易于证明{}是以－为公差的等差数列.
mi?12dmi?127、解由根与系数关系, an＋an?1=－3n,则(an?1＋an?2)－(an＋an?1)=－3,即an?2－an=－3.∴a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为－3的等差数列,由a1=2,a1+a2=－3,∴a2=－5.则a2k=－3k－2,∴a100=－152, a2k?1=－3k＋5,∴a101=－148,∴c100= a100? a101=22496 8、设首项分别为a和b,公比q和r. 则有q?1,r?1.依据题设条件,有
ab=1,① =2,② 1?q1?r?aq?n?12?brn?1,③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)2q2n?2=2(1－r)rn?1.令n=1,有(1－q)2=2(1
－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－r)r,⑤ 由④和⑤,可得q2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q2).由于
11416,r =.因此可得a=1－q=,b=2(1－r)=. 3939416??a?b??3和?9经检验,满足a2?b的要求. ∴??nn11?q???r?3?9?q≠1,∴有q=?1??bn?(an?an?1)9、依据题设条件,有?由此可得2??an?1?bnbn?1bn?11(bn?1bn?bnbn?1)=bn(bn?1?bn?1).∵bn＞0,则2bn?bn?1?bn?1。22(n?1)2∴{bn}是等差数列.∴bn=.
2n2(n?1)2?n(n?1)?1a?又 a?bn?1bn?=?,∴=n(n?1) n?222?2?2n210、2m+n-1
高一数学数列复习题精华(1)
