抽象函数常见题型及解法综述.doc

抽象函数常见题型及解法综述

一、函数的基本概念问题

1. 抽象函数的定义域问题

例1已知函数/(X2)的定义域是[1, 2],求/(X)的定义域.

例2已知函数/⑴的定义域是[―1, 2],求函数/[logl(3-^)]的定义域.

2. 抽象函数的值域问题

例4设函数/(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y, /(x + y)

=f (x) f (y)总成立,且存在X|和2,使得/(x, )^/(x2 ),求函数/(X)的值域.

3. 抽象函数的解析式问题

X — 1 例5 设对满足x#O,x^l的所有实数x，函数/(x)满足/(x)+/(——)

X 1+X,求/(X)的解析式.

二、寻觅特殊函数模型问题

1. 指数函数模型

例6设f(x)定义于实数集R上，当x>0时，f(x) > 1 ,且对于任意实 数 x、y ,有 f (x + y) = /(x)-/(y) > 同时/⑴=2，解不等式/(3x-x2 )>4,

2. 对数函数模型

例7

已知函数/⑴满足：(1)/(斗)=1；⑵函数的值域是［-1, 1］；⑶在

其定义域上单调递减；⑷fM + /(y) = /(x-y)对于任意正实数x、y都成立.解 不等式厂⑴?厂(亠)詁.

1 - x 2

3. 幕函数模型

例8

已知函数/⑴对任意实数x、y都有/(xy) = /(x)-/(y)，且/(-1)=1,

f (27)=9,当 OWxV］时,0

⑴判断/⑴的奇偶性；

⑵判断/⑴在［0, +8)上的单调性，并给出证明； ⑶若aNO且/(6z+ 1)

三、研究函数的性质问题

1. 抽象函数的单调性问题

例9设/(x)定义于实数集上，当x>0时,/(x)>l，且对于任意实数x、 y,有/(x + y)=.f(x)?.f(y),求证：f(X)在R上为增函数.

2. 抽象函数的奇偶性问题

例10已知函数/(x)(xWR, x#))对任意不等于零实数\\、x2都有 /(xI-x2)=/(xI)+/(x2),试判断函数/(X)的奇偶性.

3. 抽象函数的周期性问题

例11函数/(兀)定义域为全体实数，对任意实数a、b, W/(a+b)+/(a c -b) =2/(a)-/(b),且存在C>0，使得f(》= 0 ,求证/(x)是周期函数.

4. 抽象函数的对称性问题

例 12 已知函数 y = /(x)满足/(x) + f(-x) = 2002，求厂⑴ + / “ (2002 - x) 值.

四、抽象函数中的网络综合问题

例13定义在R上的函数/(兀)满足：对任意实数m, n,总有 + =

,且当 x>0 时,0

⑴判断/(兀)的单调性；

练习：

1? 设“2 +1，求f(x+l)关于直线x=2对称的曲线方程。

的