模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 微分学 复合函数的求导法则（链式法则） 导数的四则运算 复合函数 知识内容 1、复合函数的求导法则的证明 2、复合函数的求导法则（链式法则） 能力目标 时间分配 修订 1、培养学生的计算能力 2、知识拓展的能力 45分钟 编撰 陈亮 二审 校对 方玲玲 审核 危子青 危子青 肖莉娜 二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 1、了解复合函数的求导法则的证明 2、掌握复合函数的求导法则（链式法则） 计算模块 2-6 2-4 1-2 掌握程度 熟练掌握 一、正文编写思路及特点 思路：先让学生犯错，目的的是让学生记忆深刻，然后解决错误，在解决错误的过程中使得学生理解复合函数求导法则，最后通过例题由浅到深逐步理解复合函数的求导法则。 特点：通过犯错让学生记忆深刻。 二、授课部分 （一）、预备知识 1、导数的四则运算 2、复合函数 简单介绍复合函数的定义(由多个初等函数复合而成的函数称为复合函数) 复合函数的分解，重点介绍复合函数的分解。 y?sin2x 分解成 y?sinu;u?2x y?lnsinx 分解成 y?lnu;u?sinx y?lncosex 分解成 y?lnu;u?cosv;v?ex y?esin1x 分解成 y?e;u?sinv;v?u1 xxx??y??arcsin? 分解成 y?u2;u?arcsinv;v? 22??2课堂练习： y?arctanexy??2x?3?41y?arccos xy?lntanx2y?lnlnlnxy?x?x?x （二）、新课讲授 1、新课导入 提问： (sin2x)???（目的是让学生犯错） 解决错误：(sin2x)???2sinx?cosx?? ?2?sinx??cosx?2sinx?cosx?? ?2?cos2x?sin2x??2cos2x 为什么？为什么不等于cos2x而是2cos2x？ 解决问题： 先回顾一下求导公式,例如:?sinx???cosx 即说明dsinxdsinydsin2x?cosx??cosy??cos2x dxdyd2xdsin2x而?sin2x???，于是有： dxdsin2xd2x??cos2x?2 ?sin2x???d2xdxdexdeyde3x?xxy类似?e??e，即说明?e??e??e3x dxdyd3xxdededeusinxx2??e?2?e??eu??等等，可以多列举dsinxdxdusinxx2几个例子说明。 例1． y?esinx求y?（一级） 解：?esinxsinxsinxdsinx??de?de??dxdsinxdx?esinx??sinx???esinx?cosx 为了加深学生对这个概念的理解，可适当的多列举些例子。 2、复合函数求导及其相关性质 如果u?g(x)在点x可导? 函数y?g(u)在点u?g(x)可导? 则复合函数y?f(g(x))在点x可导? 且其导数为 dydydudy???f?(u)?g?(x)或? dxdxdudx （通过导数的定义证明复合函数的导数计算法则） 简要证明? dy?y?y?u ?lim?lim??x?0?x?0dx?x?u?x ?lim?u?0?y?u?lim?f?(u)g?(x)? ?x?0?u?x 注：复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形? 例如? 设y?f(u)? u??(v)? v??(x)? 则 dydydudydudv????? dxdudxdudvdx总结：复合函数求导，是先对u求导，然后乘以u?. （三）、典型例题 例2．y?sin2x? 求解：y?sinu;u?2x y??dydydu???cosu?u??cos2x??2x???2cos2x dxdudxdy? （一级） dx例3．y?lnsinx? 求解：y?lnu;u?sinx dy? （一级） dxy??dydydu1?1????u???sinx???cotx dxdudxusinx例4．y?arctan?ex?? 求解：y?arctanu;u?ex dy? （一级） dxxxdydyde11e?x y???x???u???e??2?22xxdxdedx1?u1?e1??e?注：强调乘以u?，熟练之后，对学生进一步提高要求。 例5．y?31?2x2? 求dy? （一级） dx12?dy1232?[(1?2x)]??(1?2x)3?(1?2x2)? 解? dx3??4x3(1?2x)322? 例6．y?sin2xdy? 求? （二级） dx1?x2dy2x?cos解： dx1?x22x2(1?x2)?(2x)2?2x?????cos? 2?2221?x(1?x)?1?x?2(1?x2)2x? ??cos222(1?x)1?x例7．y?lncos(e x)? 求解? dy? （二级） dxdy1?[lncos(ex)]???[cos(ex)]? xdxcos(e)1xxxx??[?sin(e)]?(e)??etan(e)? xcos(e)sin1x ?例8．y?e? 求dy? （二级） dx111sinsinsindy111?(ex)??ex?(sin)??ex?cos?()? 解? dxxxx1sin11??2?ex?cos? xx例9．y?etan1xsin1x1dy? 求? （三级） dxx 解： y??(etan1tan11)?sin?ex(sin)? xx1x1tan1111??sin?2?ex?cos?21xxxxcos2x??etan1 ??etan1x1111(sec?tan?cos) x2xxx如果例题太多，可以适当的把他们改成课堂练习，随情况而定. 三、能力反馈部分 （1）y?sin(5x3)，求y? （一级） （2）y?lncosx，求y? （一级） （3）y?sinxecosx，求y? （二级） （4）y?e3(sin2x)，求y? （二级） 1)，求y? （二级） 2（5）y?lnsin(x?sinxx（6）y?2，求y?(x) （三级）
2-6复合函数的求导法则(链式法则)
