三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每B组小鼠给服乙离子溶液，组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 18．（12分）
关注“教习网”微信公众号或访问 www.51jiaoxi.com 免费获取2019及历年高考真题
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asin（1）求B；
A?C?bsinA． 2（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围． 19．（12分）
Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，BE=BF=2，图1是由矩形ADEB、其中AB=1，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
20．（12分）
已知函数f(x)?2x?ax?b.
32（1）讨论f(x)的单调性；
（2）是否存在 a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.
1x221．已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
22
关注“教习网”微信公众号或访问 www.51jiaoxi.com 免费获取2019及历年高考真题
（1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,?4???，CD?所在圆)，D(2,?)，弧?AB，BC4?，曲线M3是弧CD?. 的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧?AB，曲线M2是弧BC（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
?2（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|?3，求P的极坐标.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设x,y,z?R，且x?y?z?1.
222（1）求(x?1)?(y?1)?(z?1)的最小值；
（2）若(x?2)?(y?1)?(z?a)?
2221成立，证明：a??3或a??1. 3
关注“教习网”微信公众号或访问 www.51jiaoxi.com 免费获取2019及历年高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
一、选择题 1．A
2．D
3．C
4．A
5．C
6．D
7．B
8．B
9．C
10．A
11．C
二、填空题 13．
23 14．4 15．(3,15) 16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
关注“教习网”微信公众号或访问 www.51jiaoxi.com 免费获取2019及历年高考真题
．D
12乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
18．解：（1）由题设及正弦定理得sinAsinA?C?sinBsinA． 2因为sinA?0，所以sinA?C?sinB． 2A?CBBBB?cos，故cos?2sincos． 22222由A?B?C?180，可得sin?因为cosBB1?0，故sin?，因此B=60°． 2223a． 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC??csinAsin?120?C?31由正弦定理得a????．
sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故0° 1?a?2，2从而33?S△ABC?． 82?33?因此，△ABC面积的取值范围是??8,2??． ??19．解：（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D 四点共面． 由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 关注“教习网”微信公众号或访问 www.51jiaoxi.com 免费获取2019及历年高考真题
2019年全国卷理科数学高考真题及答案解析（word精编）
