列等比数列 基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。 模型 一个简单 基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为20%，每年年底要拿递推数列 出a（常数）作为下年度的开销，即数列?an?满足an?1?1.2an?a。 注：表中n,k均为正整数 *10.空间几何体（其中r为半径、h为高、l为母线等） 三视图 直观图 空间几何体 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 画法 面积 关系 棱柱 棱锥 表面积和体积 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球 正视图与侧视图高平齐； 侧视图与俯视图宽相等； 俯视图与正视图长对正。 使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。 水平放置的平面图形的面积为S，使用斜二测画法画出的直观图的面积为S'，则S?22S'。 表面积 S全?S侧?2S底 表面积即空间S全?S侧?S上底?S下底 几何体暴S全?2?r2?2?rh 露在外的S全??r2??rl 所有S全??(r'2?r2?r'l?rl) 面的面积之和。 S球?4?R2 S全?S侧?S底 体积 V?S底gh高 1V?S底gh高 31V?(S'?S'S?S)h 3V??r2h 1V??r2h 31V??(r'2?r'r?r2)h 31V锥?Sgh 3 ?S?S' 1V台?(S'?S'S?S)h 3 ?S'?0 V柱?Sgh 4V球??R3 3*11.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）： 公理1 基本公理 公理2 公理3 A?l,B?l,A??,B???l??。 A,B,C不共线?A,B,C确定平面?。 用途 判断直线在平面内。 确定平面。 确定两平面的交线。 P??,P??,?I??l?P?l 空间点、直线、平面的位置关系位置关系 两直线平行。 a∥c，b∥c?a∥b 公理4 线线 共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 点线面 A?l,B?l；A??,B??。 线面 面面 …… 线面 lP?,lI??A,l??.。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。 ?∥?，?I??l。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。 判定定理 平行关系 a??,b??,a//b?a//? 线线平行?线面平行 a??,b??,aIb?P????//? a//?,b//??线面平行?面面平行 性质定理 a∥?，a??，?I??b?a∥b 线面平行?线线平行 面面 ?//?,?I??a,?I??b?a//b 面面平行?线线平行
垂直线面 m??,n??,mIn?P???a?? a?m,a?n?第 6 页 共 12 页
a?????a∥b b???关系 线线垂直?线面垂直 面面 …… 线线垂直?线线平行 l??,l?????? 线面垂直?面面垂直 定义 ???,?I??l,a??,a?l?a?? 面面垂直?线面垂直 特殊情况 两直线平行时角为0? 范围 把两异面直线平移到相交时两相交直线线线角 所成的角。 空线面角 间角 二面角 空间距离 点面距 线面距 面面距 所成角为90?时称两直线垂直 线面平行或线在平面内???平面的一条斜线与其在该平面内射影所时线面角为0? 0,? ?成角。 线面垂直时线面角为?2?90? 两个半平面重合时为0? 在二面角的棱上一定向两个半平面内作两个半平面成为一个平?0,?? 垂直棱的垂线，这两条射线所成角。 面时为180? 当二面角为90?时称两个平面垂直 从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。 线面距和面面距转化为点面距。 直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。 两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离。 ???0,? ??2?*12. 空间向量与立体几何 空间向基本量 定理 线面标志 空间向量与立体几何 重要概念 共面向量 空间基底 共线定理 共面定理 基本定理 方向向量 法向量 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。 rrr空间任何三个不共面的向量a,b,c都可做空间的一个基底。 rrrrrra,b（b?0共线?存在唯一实数?，a??b。 rrrrrrrrp与a,b、（a,b不共线）共面?存在实数对x,y，使p?xa?yb． rrrurrrrrpa,b,c不共面，p?xa?yb?zc空间任意向量存在唯一的(x,y,z)，使。 r所在直线与已知直线l平行或者重合的非零向量a叫做直线l的方向向量。 r所在直线与已知平面?垂直的非零向量n叫做平面?的法向量。 方向向量共线。 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。 判定定理；两个平面的法向量平行。 两直线的方向向量垂直。 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。 判定定理；两个平面的法向量垂直。 立位置体关系 线面垂直 几何面面垂直 中线线角? 的向空间线面角? 量角 方二面角? 法 空间距离 点线距 点面距 rrrr两直线方向向量为a,b， cos??cosa,b。 rrrr直线的方向向量为a，平面的法向量为n，sin??cosa,n。 uruurrr两平面的法向量分别为n1和n2，则cos??cosn1,n2。 r直线的方向向量为a，直线上任一点为N，点M到 两平行线距离 转化uuuuruuuurr为点线距。 a直线的距离d?MNsinMN,a。 r面面距转化平面?的法向量为n，平面?内任一点为N，点M 线面距、为点面距。 第 7 页 共 12 页
uuuurrMN?nuuuuruuuurr到平面?的距离d?MNcosMN,n?。 rn * 13.直线与圆的方程 倾斜角 概念 斜率 点斜式 x轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与x轴平行或重合时倾斜角为0? y?y1倾斜角为?，斜率 k?tan??2（x1?x2），(x1,y1),(x2,y2)在直线上。 x2?x1y?y0?k(x?x0) 在y轴截距为b时y?kx?b。 直线与方程 直线与圆的方程 y?y1x?x1xy(x1?x2,y1?y2) ?在x,y轴截距分别为a,b时??1。 直线两点式 y2?y1x2?x1ab方程 AC22，B?0时斜率k??，纵截距?。 一般式 Ax?By?C?0（A?B?0）BB当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时， l1//l2?k1?k2；如果不重合直平行 线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1//l2． 位置当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1?l2?k1?k2??1；若两条直线l1,l2中的关系 垂直 一条斜率不存在，则另一条斜率为0时，它们垂直． 交点 点点距 距离公式 点线距 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。 P(x2?x1)2?(y2?y1)2。 1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离PP12?点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA?B222。 线线距 定义 圆 圆与方…… 程 直线与圆 圆与圆 标准 方程 一般 方程 …… 代数法 几何法 代数法 几何法 l1:Ax?By?C1?0到l2:Ax?By?C2?0距离d?圆心坐标(a,b)，半径r， 方程(x?a)?(y?b)?r。 222C1?C2A?B2． 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。 标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为x2?y2?Dx?Ey?F?0 ( 其中D2?E2?4F?0) 相交 方程组有两组解 d?r 方程组有两解 DED2?E2?4F。 (?,?)，半径222相离 方程组无解 d?r 方程组无解 相切 方程组有一组解 d?r 方程组有一组解 r1?r2?d?r1?r2 d?r1?r2或d?r1?r2 d?r1?r2或d?r1?r2 【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】 14.圆锥曲线的定义、方程与性质 圆锥曲线的定义
定义 平面内与两个定点F1，标准方程 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 椭圆中a?c 椭1F2?2c）圆 2a（大于F的点的轨迹叫做椭圆． 【b?a?c，a?b】 222F2的距离之和等于常数x2y2?2?1 2abx?a(?a,0)y?b (0,?b) (?c,0) y2x2??1 a2b2y?a (0,?a) x?b (?b,0) (0,?c) 0?e?1? 坐标原点 c e? ax轴 y轴 第 8 页 共 12 页
、平面内与两个定点F1，方F2的距离之差的绝对值程双与曲等于常数2a（小于性线 F1F2?2c）的点的轨迹质 叫做双曲线． 【b?c?a】 222x2y2?2?1 2aby2x2?2?1 2aby2?2px x?a (?a,0) y?R y?a (0,?a) x?R x?0 y?R x?0 y?R y?0 x?R y?0 x?R (?c,0) ? 双曲线中a?c e?1 (0,?c) 平面内到一个定点F和一条定直线l（定点F不抛在定直线l）距离相等的物点的轨迹是抛物线。 线 【焦点到准线的距离等于p，p?0，焦参数】 y??2px x?2py x2??2py 22(0,0) p(,0) 2p(?,0) 2p(0,) 21 x轴 【离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比】 y轴 p(0,?) 2bax， y??x。 abpppp2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是x??,x?,y??,y?。
2222注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为y??*15. 圆锥曲线的热点问题 概念 曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)?0的解，以f(x,y)?0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程f(x,y)?0的曲线、方程f(x,y)?0为曲线C的方程。 直接法 把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。 定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。 曲曲线 动点P?x,y?随动点Q?x0,y0?运动，Q在曲线C:f?x,y??0上，以x,y表示代入法 线与 x0,y0，代入曲线C的方程得到动点轨迹方程的方法。 方方求法 把动点坐标(x,y)用参数t进行表达的方法。此时x??(t),y??(t)，消掉t即程程 参数法 得动点轨迹方程。 与 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数即圆交规法 得轨迹方程的方法。 锥曲含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。 线定点 把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲解法 热线系恒过的定点。 点热含义 不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。 定值 问点解法 建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。 题 问含义 一个量变化时的变化范围。 题 范围 建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或解法 者解不等式。 含义 一个量在变化时的最大值和最小值。 最值 解法 建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。 *16. 函数与方程思想,数学结合思想 函数与
函数与方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用函数联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立思想 各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的第 9 页 共 12 页
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成方程思想、数形结数形结合合思想 思想 有关性质，使问题得到解决． 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表方程示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程思想 （组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决． 根据数与形之间的对应关系，通过把数转化为形，通以形助数 过对形的研究解决数的问题、或者获得解决数的问题解决 思路解决数学问题的思想。 根据数与形之间的对应关系，通过把形转化为数，通以数助形 过数的计算、式子的变换等解决数学问题的数学方法。 的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系． 数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野. *17. 分类与整合思想,化归与转化思想 分类与整合、化归与转化 分类 与 整合 解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解分类 思想 决的思想方法。 整合 把一个问题中各个解决的部分，基本合并、提炼得出思想 整体结论的思想方法。 分类与整合思想的主要问题是“分”，解题的过程是“合—分—合”。 化归 与 转化 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把化归 化归转化思想的实质是数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、思想 “化不能为可能”，使用化归化复杂为简单的解决问题的思想方法。 转化思想需要有数学知识和 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把解题经验的积累。 转化 数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解 思想 决问题的思想方法。 选修部分IB课程 *1.复数 虚数单位 概念 复数 复数相等 共轭复数 复数 运算 加减法 乘法 除法 几何意义 规定：i??1；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、2?1,i4k?1?i,i4k?2??1,i4k?3??i(k?Z)。 形如a?bi(a,b?R)的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。b?0时叫虚数、a?0,b?0时叫纯虚数。 a?bi?c?di(a,b,c,d?R)?a?c,b?d 乘运算律仍成立。i实部相等，虚部互为相反数。即z?a?bi，则z?a?bi。 (a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i，(a,b,c,d?R)。 4k?复平面内的点Z(a,b)?????向量OZ 复数z?a?bi????uuur22向量OZ的模叫做复数的模，z?a?b (a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i，(a,b,c,d?R) ac?bdbc?da(a?bi)?(c?di)?2?i(c?di?0,a,b,c,d?R) c?d2c2?d2uuur一一对应一一对应
2. 导数及其应用 导数
概念与几概念 函数y?f(x)在点x?x0处的导数f'(x0)?lim第 10 页 共 12 页
?x?0f(x0??x)?f(x0)。 ?x
高中数学知识点(表格格式)
