课时跟踪检测(八) 生活中的优化问题举例
一、选择题
4
1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0
3的时刻是( )
A.1秒末 C.2秒末
B.0秒
D.0秒或1秒末
解析:选D 由题意可得t≥0,且s′=4t2-4t,令s′=0,解得t1=0,t2=1,故选D.
2.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为( ) A.2和6 C.3和5
B.4和4 D.以上都不对
解析:选B 设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y′=48x-192.令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y′<0;当4<x≤8时,y′>0.所以当x=4时,y最小.
3.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( ) R3A.和R 2247C.R和R 55
B.
545
R和R 55
D.以上都不对
解析:选B 设矩形的宽为x,则长为2R2-x2,则l=2x+4R2-x2(0<x<R),l′=2-
4x
. R2-x255
R,x2=-R(舍去). 55
令l′=0,解得x1=当0<x<
55
R时,l′>0;当R<x<R时,l′<0, 55
5545R时,l取最大值,即周长最大的矩形的宽和长分别为R,R. 555
所以当x=
4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品的零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为( )
A.30元 C.28 000元
B.60元 D.23 000元
解析:选D 设毛利润为L(p),由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)
=(8 300-170p-p2)(p-20) =-p3-150p2+11 700p-166 000, 所以L′(p)=-3p2-300p+11 700.
令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去), 此时L(30)=23 000.
因为在p=30附近的左侧L′(p)>0,右侧L′(p)<0,
所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.
5.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新墙壁,当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A.32米,16米 C.40米,20米
B.30米,15米 D.36米,18米
解析:选A 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米,其他两边的边长均为y米,则xy=512,
则所用材料l=x+2y=2y+求导数,得l′=2-
512. y2512
(y>0), y
令l′=0,解得y=16或y=-16(舍去). 当0<y<16时,l′<0; 当y>16时,l′>0.
512512
所以y=16是函数l=2y+y(y>0)的极小值点,也是最小值点.此时,x==32.
16所以当堆料场的长为32米,宽为16米时,砌新墙壁所用的材料最省. 二、填空题
6.已知某矩形广场面积为4万平方米,则其周长至少为________米. 解析:设广场的长为x米,则宽为40 0001-2?. 以y′=2?x??
令y′=0,解得x=200(x=-200舍去),这时y=800. 当0<x<200时,y′<0;当x>200时,y′>0.
所以当x=200时,y取得最小值,故其周长至少为800米. 答案:800
7.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为________ cm. 1
解析:设该漏斗的高为x cm,体积为V cm3,则底面半径为202-x2 cm,V=πx(202
3
40 000?x+40 000?(x>0),所米,于是其周长为y=2x??x
11203
-x2)=π(400x-x3)(0<x<20),则V′=π(400-3x2).令V′=0,解得x1=,x2=
333203203203203
-(舍去).当0<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0.所以当x=时,
3333V取得最大值.
答案:
203
3
8.如下图,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是________.
x?
解析:设CD=x,则点C的坐标为??2,0?, x?2?x
点B的坐标为?2,1-??2?,
??
∴矩形ABCD的面积
?1-?x?2? S=f(x)=x·??2??
x3
=-+x,x∈(0,2).
43由f′(x)=-x2+1=0,
42323
得x1=-(舍去),x2=,
33
?23?时,f′(x)>0,f(x)是递增的,
∴x∈0,
3??
x∈
?23,2?时,f′(x)<0,f(x)是递减的,
?3?
2343当x=时,f(x)取最大值.
39答案:
43 9
三、解答题
9.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入
成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加,5
-x2+2x+?,则当x为何值时,本年度的年利润年销售量y关于x的函数式为y=3 240?3??最大?最大利润为多少?[年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量]
解:由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x),每辆车的出厂价为13(1+0.7x),5
-x2+2x+?=3 年利润为f(x)=[13(1+0.7x)-10(1+x)]·y=(3-0.9x)×3 240×?3??240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),则f′(x)=3 240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),
5
由f′(x)=0,解得x=或x=3(舍去).
95
0,?时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈??9?5?当x∈??9,1?时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
5?5
所以当x=时,f(x)取极大值,f??9?=20 000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以9它是最大值.
5
所以当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20 000万元.
9
10.某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10 000平方米,该中心每块球场的建设面积为1 000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=1
1+ln x?来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地800??5?费用之和),该网球中心应建几个球场?
128×1041 280解:设建成x个球场,则1≤x≤10,每平方米的购地费用为=x元,
1 000x1
1+ln x?来表示, 因为每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=800??5?所以每平方米的综合费用为 g(x)=f(x)+
1 2801 280
=800+160ln x+(x>0), xx160?x-8?
(x>0), x2所以g′(x)=
令g′(x)=0,则x=8.当0 当x>8时,g′(x)>0,所以x=8时,函数取得极小值,且为最小值. 故当建成8座球场时,每平方米的综合费用最省. 精品文档 强烈推荐
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