课时跟踪检测(八) 生活中的优化问题举例
一、选择题
4
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0
3的时刻是( )
A．1秒末 C．2秒末
B．0秒
D．0秒或1秒末
解析：选D 由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1，故选D.
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A．2和6 C．3和5
B．4和4 D．以上都不对
解析：选B 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( ) R3A.和R 2247C.R和R 55
B.
545
R和R 55
D．以上都不对
解析：选B 设矩形的宽为x，则长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－
4x
. R2－x255
R，x2＝－R(舍去)． 55
令l′＝0，解得x1＝当0＜x＜
55
R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0， 55
5545R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R. 555
所以当x＝
4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为( )
A．30元 C．28 000元
B．60元 D．23 000元
解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)， 此时L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32米，16米 C．40米，20米
B．30米，15米 D．36米，18米
解析：选A 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512，
则所用材料l＝x＋2y＝2y＋求导数，得l′＝2－
512. y2512
(y＞0)， y
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)． 当0＜y＜16时，l′＜0； 当y＞16时，l′＞0.
512512
所以y＝16是函数l＝2y＋y(y＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.
16所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省． 二、填空题
6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 解析：设广场的长为x米，则宽为40 0001－2?. 以y′＝2?x??
令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800. 当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米． 答案：800
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________ cm. 1
解析：设该漏斗的高为x cm，体积为V cm3，则底面半径为202－x2 cm，V＝πx(202
3
40 000?x＋40 000?(x＞0)，所米，于是其周长为y＝2x??x
11203
－x2)＝π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝
333203203203203
－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，
3333V取得最大值．
答案：
203
3
8．如下图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
x?
解析：设CD＝x，则点C的坐标为??2，0?， x?2?x
点B的坐标为?2，1－??2?，
??
∴矩形ABCD的面积
?1－?x?2? S＝f(x)＝x·??2??
x3
＝－＋x，x∈(0,2)．
43由f′(x)＝－x2＋1＝0，
42323
得x1＝－(舍去)，x2＝，
33
?23?时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
∴x∈0，
3??
x∈
?23，2?时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
?3?
2343当x＝时，f(x)取最大值.
39答案：
43 9
三、解答题
9．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入
成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，5
－x2＋2x＋?，则当x为何值时，本年度的年利润年销售量y关于x的函数式为y＝3 240?3??最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]
解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，5
－x2＋2x＋?＝3 年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3 240×?3??240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，
5
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
95
0，?时，f′(x)＞0，f(x)是增函数； 当x∈??9?5?当x∈??9，1?时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
5?5
所以当x＝时，f(x)取极大值，f??9?＝20 000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以9它是最大值．
5
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
9
10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝1
1＋ln x?来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地800??5?费用之和)，该网球中心应建几个球场？
128×1041 280解：设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为＝x元，
1 000x1
1＋ln x?来表示， 因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800??5?所以每平方米的综合费用为 g(x)＝f(x)＋
1 2801 280
＝800＋160ln x＋(x>0)， xx160?x－8?
(x>0)， x2所以g′(x)＝
令g′(x)＝0，则x＝8.当0 当x>8时，g′(x)>0，所以x＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省． 精品文档 强烈推荐
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