课时作业70 数学归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12
n（2n2＋1）＝时，由n＝k时的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加3的式子是( )
A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2
1
D.3(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析：n＝k时，左边为…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…，n＝k＋1时，左边为…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…，可见左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.故选B.
答案：B
2．(2019年高考数学理)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n
＋3
－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( ) A．1 B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
解析：当n＝1时，左边计算的式子为1＋2＋22＋23，故选D. 答案：D
3．(2019年河南省濮阳市高三第二次模拟)几位大学生响应国家的创业
号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相
邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N：第2017行的第N项为2的正整数幂．已知210＝1 024，那么该款软件的激活码是( )
1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 … 48 64 80 … … A．1 040 B．1 045 C．1 060 D．1 065
解析：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为2n－1， 记第n行的第m个数为f(n，m)，则f(n，1)＝f(n－1，1)＋f(n－1，2)＝2f(n－1，1)＋2n－2，
f（n，1）f（n－1，1）1
即＝＋4， n－12n2
算得f(n，1)＝(n＋1)2n－2，则f(n，m)＝f(n，1)＋(m－1)·2n－1＝2n－2(2m＋n－1)，
又已知第2 017行的第N项为2的正整数幂，且210＝1 024， 可推得N＝1 040，即该款软件的激活码是1 040，故选A. 答案：A
图1
4．(2019年内蒙古包头市高三第一次模拟)现有4张牌(1)、(2)、(3)、(4)，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了( )
A．翻且只翻(1)(4) B．翻且只翻(2)(4) C．翻且只翻(1)(3) D．翻且只翻(2)(3)
解析：由题意，当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2， 则必须翻看(1)是否正确，这样(3)就不用翻看了，7后面不能是R，要查(4)，
所以为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看(1)(4)两种牌即可，故选A.
答案：A
5．(2019年河北武邑中学高三上学期第二次调研)用数学归纳法证明1111＋2＋3＋…n
2－1＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1
111
解析：当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k；
2－1
11111
当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…k＋2k＋…＋k1.
2－12＋－1因为2k，2k＋1，2k＋2，…，2k＋1－1是一个首项为2k，公差为1的等差数列，共有2k项，
2021高考理科数学一轮总复习课标通用版作业：第14章 推理与证明 课时作业70
