C1 y M A O P B x C1 y N A O P 图2 图(2)B Q E F x C2 C3 C4 图1 图(1)
2解:(1)由抛物线C1:y?a?x?2??5得 C1 顶点P的为(-2,-5) ………2分 ∵点B(1,0)在抛物线C1上
A ∴0?a?1?2?2?5
5
解得,a= ………4分错误!未指定书签。 9
(2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B,且PB=MB ∴△PBH≌△MBG
∴MG=PH=5,BG=BH=3
∴顶点M的坐标为(4,5) ………6分
抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为y??y H O P 图(1) B M G x C2 C3 5?x?4?2?5 ………8分 9(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由(2)得点N的纵坐标为5
设点N坐标为(m,5) ………9分 y 作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G C1 作PK⊥NG于K N ∵旋转中心Q在x轴上
H B Q ∴EF=AB=2BH=6 G A ∴FG=3,点F坐标为(m+3,0) E O F x H坐标为(2,0),K坐标为(m,-5),
K 根据勾股定理得 P C4 PN2=NK2+PK2=m2+4m+104
PF2=PH2+HF2=m2+10m+50 图(2) 222
NF=5+3=34 ………10分
4419
①当∠PNF=90o时,PN2+ NF2=PF2,解得m=,∴Q点坐标为(,0)
33102
②当∠PFN=90o时,PF2+ NF2=PN2,解得m=,∴Q点坐标为(,0)
33
③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90o
192
综上所得,当Q点坐标为(,0)或(,0)时,以点P、N、F为顶点
33
的三角形是直角三角形. ………13分
13、(2009兰州)29.(本题满分9分)如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,
10),(8,4),
点C在第一象限.动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动, 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为t秒.
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度; (2)求正方形边长及顶点C的坐标;
(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标; (4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.
解:(1)Q(1,0) ······················································································· 1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度.································································· 2分 (2) 过点B作BF⊥y轴于点F,BE⊥x轴于点E,则BF=8,OF?BE?4. ∴AF?10?4?6.
y 在Rt△AFB中,AB?82?62?10 3分 过点C作CG⊥x轴于点G,与FB的延长线交于点H. ∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH. ∴BH?AF?6,CH?BF?8. ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12.
∴所求C点的坐标为(14,12). 4分 (3) 过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥x轴于点N, 则△APM∽△ABF. ∴
APAMMPtAMMP. ?. ????ABAFBF1068DCAMFONQPHGxBE3434 ∴AM?t,PM?t. ∴PN?OM?10?t,ON?PM?t.
5555设△OPQ的面积为S(平方单位)
13473∴S??(10?t)(1?t)?5?t?t2(0≤t≤10) ················································· 5分
251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
∵a??473<0 ∴当t??时, △OPQ的面积最大. ························· 6分 ?36102?(?)104710 此时P的坐标为(
9453,) . ····································································· 7分 15105295(4) 当 t?或t?时, OP与PQ相等. ················································· 9分
313 对一个加1分,不需写求解过程.
14、(2009广东广州)25.(本小题满分14分)如图13,二次函数y?x2?px?q(p?0)的
图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为
5。 4(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴上午垂线,若该垂线
与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD
为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=设A(a,0),B(b,0) AB=b-a=
55,得AB= 42(a?b)2?4ab=2533,解得p=?,但p<0,所以p=?。 2223x?1 23112(2)令y=0,解方程得x?x?1?0,得x1??,x2?2,所以A(?,0),B(2,0),在直角三
222所以解析式为:y?x?角形AOC中可求得AC=5,同样可求得BC=5,,显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC2555,所以??m?. 244是直角三角形。AB为斜边,所以外接圆的直径为AB=
(3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD
3?2y?x?x?1?的解析式为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组?2??y??2x?4
得D(?5,9) 2②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,
3?2153?y?x?x?1把 A(?,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组?得D(,) 2222?y?0.5x?0.25?综上,所以存在两点:(?553,9)或(,)。 2221)和B(1,0),15、(2009广东梅州)23.(本题满分 11 分.)如图 12,已知直线L过点A(0,P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.
(1)直接写出直线L的解析式;
(2)设OP?t,△OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式;并求出当0?t?2时,
S的最大值;
(3)直线L1过点A且与x轴平行,问在L1上是否存在点C, 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明;若不存在,请说明理由.
y
L L1
A Q
x O M P B 图12 解:(1)y?1?x ·························································································· 2分 (2)∵OP?t,∴Q点的横坐标为①当0?1t, 211t?1,即0?t?2时,QM?1?t, 22∴S△OPQ?1?1?··············································································· 3分 t?1?t?. ·
2?2?11t?t?1, 22②当t≥2时,QM?1?∴S△OPQ?1?1?t?t?1?. 2?2?
?1?1?0?t?2,?2t?1?2t?,???∴S?? ··········································································· 4分
?1t?1t?1?,t≥2.?????2?2当0?11?1?11t?1,即0?t?2时,S?t?1?t???(t?1)2?, 22?2?44∴当t?1时,S有最大值
1. ·········································································· 6分 4(3)由OA?OB?1,所以△OAB是等腰直角三角形,若在L1上存在点C,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形,则PQ?QC,所以OQ?QC,又L1∥x轴,则C,
O两点关于直线L对称,所以AC?OA?1,得C(11),. ····································· 7 分
下证?PQC?90°.连CB,则四边形OACB是正方形.
y 法一:(i)当点P在线段OB上,Q在线段AB上 (Q与B、C不重合)时,如图–1.
由对称性,得?BCQ??QOP,?QPO??QOP, ∴ ?QPB??QCB??QPB??QPO?180°,
∴ ?PQC?360°?(?QPB??QCB??PBC)?90°. ······································ 8分 (ii)当点P在线段OB的延长线上,Q在线段AB上时,如图–2,如图–3
∵?QPB??QCB,?1??2, ∴?PQC??PBC?90°. ····················· 9分 (iii)当点Q与点B重合时,显然?PQC?90°. 综合(i)(ii)(iii),?PQC?90°.
O P B 23题图-1 x L A Q C L1
,,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形. ·∴在L1上存在点C(11)········· 11 分
y L A Q O 2 1 y L C L1 A 1 C L1 P B 23题图-2 x O B 2 Q P x 23题图-3