全国数学中考压轴题汇编（附答案）（一）
1、（2009广西贺州）．(本题满分10分) 如图，抛物线y??交于点B．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA?PB≤AB． （3）当PA?PB最大时，求点P的坐标．
解：（1）抛物线y??O x 12x?x?2的顶点为A，与y 轴4y · A B 12x?x?2与y轴的交于点B， 4第28题图
y A 令x=0得y=2．
∴B（0，2） ······································ 1分
11 ∵y??x2?x?2??(x?2)2?3
44∴A（—2，3） ····································· 3分
（2）当点P是 AB的延长线与x轴交点时，
· B PA?PB?AB． ······································ 5分
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时， 在点P、A、B构成的三角形中，PA?PB?AB． 综合上述：PA?PB≤AB ……… 7分 作AH⊥OP于H． ∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP ∴
H O P x 第（1）证明：
（3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点 ··· 8分
AHHP ······················································································· 9分 ?BOOP由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2， ∴OP=4，故P（4，0） 10分
2、（2009龙岩）26、（14分）如图，抛物线y?12x?mx?n与x轴交于A、B两点，与y2轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到
△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是
否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB， 又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分
5?n?2???m?? ∴?12 解得?2
?5?5?m?n?2???2?n?215 ∴抛物线的解析式为：y?x2?x?2 …… 4分
22 （2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分
125x?x?2?0. 22 解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ……………………………… 6分 ∴OA=4，OB=1.
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°， 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点E的坐标为（3，－1）. ………………………………………………… 7分 由y = 0，得 把x=3代入y?12515x?x?2，得y??32??3?2??1， 2222 ∴点E在抛物线上. …………………………………………………………… 8分
（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.
S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，
下面分两种情形：
1 ①当S1∶S2 =1∶3时，S1?(5?3)?2?5，
4此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，
PFEF1??，则QG=9－3a， 由△EPF∽△EQG，得
QGEG3∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
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由S1=2，得(3a?6?a?1)?2?2，解得a?；………………… 11分
42 ②当S1∶S2=3∶1时，S1?3(5?3)?6?5 4此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6， 113由S1= 6，得(3a?6?a?1)?2?6，解得a?.
42913，0）或（，0）……… 14分 44 法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.
综上所述：所求点P的坐标为（
当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3， 此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.
1?k???3k?b??1?a?3设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则?，解得?，
ak?b?0a??b???a?3?∴y?1a. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ……… 10分 x?a?3a?31(3a?6?a?1)?2?4a?7. 2∴CQ = 3a－6，BP = a－1，S1?11下面分两种情形：①当S1∶S2 = 1∶3时，S1?S梯形ABCD??8= 2；
449
；……………………………………………… 12分 4
3313②当S1∶S2 = 3∶1时，S1?S梯形ABCD??8?6； ∴4a－7 = 6，解得a?；
444913综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………… 14分
49134[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出a?或a?两个答案，就给6分. ]
44 3、（2009广东湛江）28．已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建
立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻折 得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得 直线PE、PF重合．
（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
∴4a－7 = 2，解得a?
（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP?x，AD?y，当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 y C O
E y B C F E F D D B P 图①
A x O P 图②
A x 第28题图
△PAD均为等腰直角三角形， 解：（1）由题意知，△POC、0)C(0，、3)D(41)， ·可得P(3，、·········································································· 2分
y C E y B C F E B F D D O 图①
P A x O P 图②
A x 第28题图
?c?3?设过此三点的抛物线为y?ax2?bx?c(a?0)，则?9a?3b?c?0
?16a?4b?c?1?1?a??2?5???b??
2???c?3??过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y?125x?x?3 ······························ 4分 22（2）由已知PC平分?OPE，PD平分?APF，且PE、PF重合，则?CPD?90° ??OPC??APD?90°，又?APD??ADP?90° ??OPC??ADP．
?Rt△POC∽Rt△DAP．
OPOCx3?，即? ·········································································· 6分 ADAPy4?x?11414x(4?x)??x2?x??(x?2)2?(0?x?4) 333334 ······································································· 8分 ?当x?2时，y有最大值．3y?（3）假设存在，分两种情况讨论：
①当?DPQ?90°时，由题意可知?DPC?90°，且点C在抛物线上，故点C与点Q重合，
所求的点Q为（0，3） ······················································································ 9分 ②当?DPQ?90°时，过点D作平行于PC的直线DQ，假设直线DQ交抛物线于另一点
Q，点P(3，、0)C(0，3)，?直线PC的方程为y??x?3，将直线PC向上平移2个单位
与直线DQ重合，?直线DQ的方程为y??x?5 ·················································· 10分
?y??x?5?x??1?x?4?由?得或? 125?y?x?x?3?y?6?y?1??22，，?Q(?1，．6) 又点D(41)3)(?1，6)满足条件． ·故该抛物线上存在两点Q(0，、··············································· 12分
y Q C （Q） E B F D x O P A 第28题图 4、（2009年大兴安岭地区）28、（本小题满分10分）直线y?kx?b(k?0)与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x?14x?48?0的两根（OA?OB），动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．
（1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点P的运动时间为t(秒)，?OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当S?12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，
请说明理由． y2B解：(1) A(8,0),B(0,6)………………….各1分 (2)∵OA?8，OB?6，∴AB?10
POAx
全国中考数学压轴题全解
