最新高中数学培优拔高专题（附经典解析）
含二次函数的复合函数问题
【探究拓展】
探究1：已知函数f(x)?ax2?2bx?2lnx(a?0)，且f(x)在x?1处取得极值． （1）试找出a，b的关系式；
（2）若函数f(x)在x?(0,1]上不是单调函数，求a的取值范围；
2（3）求函数f(x)在x?(0,1]的图像上任意一点处的切线斜率k的最大值
2解：（1）f(x)= a x 2 + 2 b x–2lnx，得f?(x)?2ax?2b?2因为f(x)在x=1处取
x得极值，所以f?(1)?0，故2a+2b – 2 =0，即b=1–a；
11
（2）因为函数f(x)在x∈(0，]上不是单调函数，所以f?(x)=0在(0，]
22内有解，即ax2?bx?1?0，亦即ax21
?(1?a)x?1?0在(0，]内有解，由
2 所以0??1?1，解得：a?–2；
a2ax2?(1?a)x?1?0得：x=1，或x??1， ax（3）因为k=f?(x)?2ax?2b?2?2(ax?1?1?a)，
x①当?4?a?0或a?0时，k??2(a?211，因为)x?(0,]，所以k??0恒成立，
2x22
所以k在x?(0,1]上单调递增，所以x?1时，kmax??a?2； ②当a??4时，有0?所以ax?1??2xx?111?，所以?ax??2?a， a2x1a?a，此时“=”成立的条件是：x=??a)?2?2a?4?a，
，
所以k=2(ax?1?1?a)?2(1?a?2??a?2,(?4?a?0或a?0)综合得：kmax??
?2?2a?4?a,(a??4)最新高中数学培优拔高专题（附经典解析）
变式：已知二次函数f?x??ax2?bx?c和“伪二次函数”g?x??ax2?bx?clnx （abc?0），
（1）证明：只要a?0，无论b取何值，函数g?x?在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图像上任意取不同两点A(x,y),B(x,y)，线段AB中点为
1122C?x0,0?，记直线AB的斜率为k，
0① 对于二次函数f?x??ax2?bx?c，求证：k?f?(x)； ② 对于“伪二次函数”g?x??ax你的结论.
c2ax2?bx?c?0(ⅰ)恒成解：（1）如果x?0,g(x)为增函数,则g?(x)?2ax?b??xx2?bx?clnx，是否有①同样的性质?证明
立,
当x?0时恒成立,
2ax2?bx?c?0(ⅱ)
Qa?0,由二次函数的性质, (ⅱ)不可能恒成立.
则函数g(x)不可能总为增函数. (2)○1对于二次函数:k?由f?(x)?2ax?b,?f?(x)?2ax0210f?x2??f?x1?x2?x1?2a(x2?x12)?b?x2?x1?x2?x1 =2ax0?b.
?b,则k?f?(x0)
2不妨设x?x,对于“伪二次函数”: ○
法一:g?x??ax2?bx?clnx?f(x)?clnx?c.
k?g?x2??g?x1?x2?x1f(x2)?f(x1)?cln?x2?x1x2x1
x2x1?f?(x0)?,
x2?x1cln (ⅲ)
又g??x0??f?(x0)?cx0, (ⅳ)
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法二:k?g?x??g?x??212a(x2?x12)?b?x2?x1??clnx2x1x2?x1x2?x1
x2=2ax0?b?x1x2?x1cln, (ⅲ)
由(1)中(ⅰ)g??x0??2ax0?b?clncx0, (ⅳ)如果有○1的性质，则g??x0??k ,
x2，c?0,即：x1?2x2?x1x1?x2ln比较(ⅲ)(
x2ⅳ)两式得x1?cx2?x1x0，(ⅴ)
令t?x2, t?1, x1lnt2， ?t?1t?1 (ⅵ)
12(t?1)?2(t?1)(t?1)22t?2??0， 设 s(t)?lnt?，则s?(t)??t(t?1)2t(t?1)2t?1∴s(t)在(1,??)上递增， ∴s(t)?s(1)?0.
∴ (ⅵ)式不可能成立, （ⅴ）式不可能成立,g??x0??k. ∴“伪二次函数”g?x??ax2?bx?clnx不具有○1的性质.
探究2（2020年）：已知函数f(x)?ax?x2?xlna(a?0,a?1). （1） 求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （2） 求函数f(x)单调区间； （3） 若存在x1,x2?[?1,1]，使得实数a的 取值范围. ⑴ 因为函数f(x)?axf(x1)?f(x2)?e?1(e是自然对数的底数），求
+x2?xlna(a?0,a?1)，所以f?(x)?axlna+2x?lna，f?(0)?0，
又因为f(0)?1，所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1． ⑵ 由⑴，f?(x)?axlna+2x?lna?2x+(ax?1)lna．因为当a?0,a?1时，总有f?(x)在
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