高中数学-平面向量应用举例练习
基础巩固题组 (建议用时:40分钟)
一、填空题
1.(·邵阳模拟)已知a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中x∈(0,π).若|a·b|=|a||b|,则tan x的值等于________. 解析 由|a·b|=|a||b|知,a∥b.
所以sin 2x=2sin2x,即2sin xcos x=2sin2x, 而x∈(0,π),
π
所以sin x=cos x,即x=,故tan x=1.
4答案 1
2.(·南昌模拟)若|a|=2sin 15°,|b|=4cos 15°,a与b的夹角为30°,则a·b的值是________.
33
解析 a·b=|a||b|cos 30°=8sin 15°cos 15°×=4×sin 30°×
22=3. 答案
3
→→→ππ
3.(·扬州模拟)函数y=tanx-的部分图象如图所示,则(OA+OB)·AB=
42________.
解析 由条件可得B(3,1),A(2,0),
1
∴(OA+OB)·AB=(OA+OB)·(OB-OA)=OB-OA2=10-4=6. 答案 6
4.已知|a|=2|b|,|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两相等实根,则向量a与b的夹角是________. 解析 由已知可得Δ=|a|2+4a·b=0, 即4|b|2+4×2|b|2cos θ=0, 1
∴cos θ=-,
2又∵0≤θ≤π,∴θ=答案
2π 3
2π. 3
→→→→→→→→
2
→
5.(·安庆二模)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对应的三角形的边长,若4aBC+2bCA+3cAB=0,则cos B=________. 解析 由4aBC+2bCA+3cAB=0,得
4aBC+3cAB=-2bCA=-2b(BA-BC)=2bAB+ 2bBC,所以4a=3c=2b.
+b2-b2
a+c-b4911
由余弦定理得cos B===-. 2acb224
2··b23
2
2
2
→→→
→→
→
→→
→→→→→
b24
答案 -
11 24
→
→
→
→
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若AB·AC=BA·BC=1,那么c=________.
解析 由题意知AB·AC+BA·BC=2, 即AB·AC-AB·BC=AB·(AC+CB) →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
2
=AB=2?c=|AB|=2. 答案
2
→
2
→
7.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,
y)满足不等式0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1,则z=OQ·OP的最大值为________.
解析 OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1), ∴OP·OM=x+y,OP·ON=y, ?0≤x+y≤1,即在?
?0≤y≤1→
→
→
→
→
→
→
→→→→→→
条件下,求z=2x+3y的最大值,由线性规划知识知,
当x=0,y=1时,zmax=3. 答案 3
8.(·东北三校一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cos A=acos C,S△ABC=2,则BA·AC=________. 解析 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C,
即3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0, 122
于是有cos A=,sin A=1-cos2A=,
331122
又S△ABC=·bcsin A=bc×=2,
223
1
所以bc=3,BA·AC=bccos(π-A)=-bccos A=-3×=-1.
3答案 -1 二、解答题
9.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M是圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且MA=2AN,求点N的轨迹方程. 解 设M(x0,y0),N(x,y).由MA=2AN,得
→
→
→
→
→
→
→
→
3
?x0=3-2x,
(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴?
?y0=3-2y.∵点M(x0,y0)在圆C上, ∴(x0-3)2+(y0-3)2=4,
即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1. ∴所求点N的轨迹方程是x2+y2=1.
10.(·北京海淀模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AB·AC=BA·BC=k(k∈R). (1)判断△ABC的形状; (2)若c=2,求k的值.
解 (1)∵AB·AC=cbcos A,BA·BC=cacos B, 又AB·AC=BA·BC,∴bccos A=accos B, ∴sin Bcos A=sin Acos B,
即sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC为等腰三角形. →
→
→
→→
→
→
→
→
→
→→
b2+c2-a2c2
(2)由(1)知,AB·AC=bccos A=bc·==k,
2bc2∵c=2,∴k=1.
能力提升题组 (建议用时:25分钟)
一、填空题
→→→
1.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos α,2sin α),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是________.
解析 由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos α,2+2sin α),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A位于使直线OA与圆相切时,向
4
→→
→→
→→→
→→
量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值.
答案 ??π5?
?12,12π??
→
.(·北京东城区期末)已知△ABD是等边三角形,且AB+1→→
22AD=AC,那么四边形ABCD的面积为________.
→
→
→
1→→
→解析 如图所示,CD=AD-AC=2?1→→?2
2AD-AB,∴CD=??2AD-AB??
,
1→2→2→→
即3=4AD+AB-AD·AB,
→→
∵|AD|=|AB|,
5→4AD→→→∴||2
-|AD||AB|cos 60°=3,∴|AD|=2. →→→
又BC=AC-AB=1→→1→
2AD,∴|BC|=2|AD|=1,
∴|BC→
|2
+|CD→
|2
=|BD→
|2,∴BC⊥CD.
∴S113
四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=2×22×sin 60°+2×1×3=2 3.
→CD|=3,
5
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