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第三章 作业一
1. 将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数
与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3
1113C1???? 322280 1 8110 21C3????3/8 22211110 ??? 22282. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。
X 0 1 2 3 Y 0 1 2 0 0 0 3 3512 353 352 352 350 6 356 351 35解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
22C2C24C7?1 35?6 356 35P {X=1, Y=1 }=
112C3C2C24C7121C3C2C24C722C3C24C7P {X=1, Y=2 }=?P {X=2, Y=0 }=?3 35?12 35P {X=2, Y=1 }=
211C3C2C24C722C3C24C7P {X=2, Y=2 }=?3 35班级 学号： 姓名：
31C3C24C731C3C24C7P {X=3, Y=0 }=?2 352 35P {X=3, Y=1 }=?P {X=3, Y=2 }=0
3. 设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?
其他.?0,求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由
??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)???yx????f(u,v)dudv
yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??100?212e?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
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?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而
?5e?5y,y?0, fY(y)??其他.?0,所以
f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)
?1?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0,??5e ??0.2 ??0,其他.???0,(2) P(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy如图??25eD?5ydxdy
??dx?25e-5ydy??(?5e?5x?5)dx0000.2x0.2
=e-1?0.3679.班级 学号： 姓名：
第三章 作业二
1. 袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大
的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 6 103 101 10 1 11 ?C31050 22 ?C310511 ?C31050 33 ?C310522 ?C310511 ?2C5106 102 3 0 P{Y?yi}
1 103 10(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 101010010故X与Y不独立
2. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?cx2y,x2?y?1,f（x，y）=?
0,其他.?（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度.
【解】（1）
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =得c??1-1dx?2cx2ydy?x14c?1. 2121. 4班级 学号： 姓名：
(2) fX(x)??????f(x,y)dy
?212?12124??x2xydy?x(1?x),?1?x?1, ?? ??84??0,其他.?0,?fY(y)??????f(x,y)dx
?75?y212???yxydx?y2,0?y?1, ????24??0, 其他.?0,?
3. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0, 其他.（1）求X和Y的联合概率密度； 2
（2） 设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)???2
?0,其他;?0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.
题14图
(2) 方程a?2Xa?Y?0有实根的条件是
2??(2X)2?4Y?0
故 X≥Y，
从而方程有实根的概率为：
2
P{X2?Y}?x?y??2f(x,y)dxdy
概率统计第3章答案
