人教B版高中数学选修(2-1)-3.1典型例题：两个向量的数量积

3.1.3两个的向量的数量积

【例1】已知空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?BD，求证：AD?BC．

【例2】如图，在空间四边形OABC中，OA?8，AB?6，AC?4，?OAC?45，?OAB?60，求OA与BC的夹角的余弦值.

BC?5，

参考

例1

【分析】利用向量证明两直线垂直，只要证明它们所在的向量的数量积为0即可. 【证明】AD?BC?(AB?BD)?(AC?AB)?AB?AC?BD?AC?AB?AB?BD

?AB?(AC?AB?BD)?AB?DC?0．

2【点拨】 用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明 例2

【分析】欲求OA与BC的夹角的余弦值，可利用公式：

cos?OA,BC??|OA|?|BC|.

OA?BC，先算的数量积OA?BC，再算它们模的乘积

|OA|?|BC|【解】∵BC?AC?AB，

O ∴OA?BC?OA?AC?OA?AB

A B C

?|OA|?|AC|?cos?OA,AC??|OA|?|AB|?cos?OA,AB?

?8?4?cos135?8?6?cos120?24?162.

∴cos?OA,BC??OA?BC24?1623?22. ??8?55|OA|?|BC|3?22． 5所以，OA与BC的夹角的余弦值为

【点拨】由图形看向量的夹角时易出错，如?OA,AC??135，易错写成

?OA,AC??45，另外要注意OA与BC的夹角和OA与BC的夹角的区别与联系.